К некоторому натуральному числу справа последовательно приписали два двузначных числа. полученное число оказалось равным Кубу суммы трёх исходных чисел. найдите все возможные тройки исходных чисел, в ответе укажите их количество

Обозначим через a первое натуральное число, а через b и c записанные за ним двузначные числа. Пусть  x = a + b + c.  По условию числа  104a + 100b + c = x3.    Если  x ≥ 100,  то  x3 ≥ 104x = 104(a + b + c) > 104a + 100b + c,  то есть уравнение не имеет решений.    Следовательно, x – двузначное число, a – либо однозначное, либо двузначное число, а x3 – пяти- либо шестизначное число. Кроме того,  x ≥ 22  (213 = 9261  – четырёхзначное число).    Заметим, что число  x3 − x = 9999a + 99b  делится на 99. Так как  x3 − x = x(x − 1) (x + 1),  то среди чисел  x − 1,  x, x + 1   какое-то делится на 9 и какое-то на 11. Поскольку  22 ≤ x ≤ 99,  возможны следующие случаи:   1)  x = 44  (x + 1 = 45),  443 = 85184,  8 + 51 + 84 > 44;   2)  x = 45  (x − 1 = 44),  453 = 91125,  a = 9,  b = 11,  c = 25;    3)  x = 54  (x + 1 = 45),  543 = 157464,  15 + 74 + 64 > 54;   4)  x = 55,  (x − 1 = 54),  553 = 166375,  16 + 63 + 75 > 55;   5)  x = 89,  (x − 1 = 88,  x + 1 = 90),  893 = 704969,  70 + 49 + 69 > 89;   6)  x = 98,  (x + 1 = 99),  983 = 941192,  94 + 11 + 92 > 98;   7)  x = 99,  x3 = 970299,  2 – не двузначное число. Ответ9, 11, 25.