К плоскости прямоугольника с середины большей стороны проведен перпендикуляр. Его конец отстоит от одной из диагоналей на 30 см. Найдите длину перпендикуляра, если стороны прямоугольника равны 45 см и 60 см.

Проведем перпендикуляр РК к BD, тогда ЕК перпендикулярна BD по теореме о трех перпендикулярах. Найдем ЕК из треугольника BED: ВЕ=30 см,  [latex]BD= \sqrt{45 ^{2}+60 ^{2} }= \sqrt{5625}=75 [/latex],  [latex]DE= \sqrt{ 45^{2}+ 30^{2} }= \sqrt{2925}=15 \sqrt{13} [/latex], [latex]EK ^{2}= BE^{2} -BK^{2}= DE^{2} - DK^{2}; [/latex] ВК=х;  DK=75-x. [latex]900- x^{2} =2925-(75-x) ^{2}; 150x=3600; x=24 [/latex];  ВК=24 см. Треугольники ВКЕ и РКЕ равны по гипотенузе и катету (ВЕ=РК=30; катет КЕ общий)  → ВК=РЕ=24   Ответ  24 см