Каким будет объединение этих решений тригонометрического уравнения: [latex]1. \;x_1=\frac{\pi n}{2};\qquad x_2=\frac{\pi}{2}+\pi k;\quad n,\; k \in Z;\\\\ 2.\; x_1 = \frac{\pi n}{4};\qquad x_2=\frac{\pi k}{2}; \quad n,\; k \in ...
Каким будет объединение этих решений тригонометрического уравнения:
[latex]1. \;x_1=\frac{\pi n}{2};\qquad x_2=\frac{\pi}{2}+\pi k;\quad n,\; k \in Z;\\\\ 2.\; x_1 = \frac{\pi n}{4};\qquad x_2=\frac{\pi k}{2}; \quad n,\; k \in Z;\\\\ 3. \; x_1=\frac{\pi n}{2}; \qquad x_2 = \frac{\pi}{10} +\frac{\pi k}{5}; \quad n, \; k \in Z.[/latex]
Здесь три разных примера, надо объединить х1 и х2. Объясните как это делается
Гость
Ответ(ы) на вопрос:
Гость3) [latex]x_1=\frac{\pi n}{2}\; ;\; \; x_2=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi k}{5}\; ;\; \; \; n,k\in Z[/latex]
Приведём множества, определяемые данными формулами, к множествам членов арифметических прогрессий с одной и той же разностью d=π (или просто, представим их по одной разности π),чтобы иметьодинаковый период πm.Для этого n представим по разности 2, а k представим по разности 5. То есть придаём значение n=2m или n=2m+1. А для k придаём значения
k=5m; 5m+1; 5m+2; 5m+3; 5m+4.
[latex]x_1=\frac{\pi n}{2}\; \to \; x_1=\left [ {{\pi m,\; \; esli\; n=2m} \atop {\frac{\pi}{2}+\pi m,\; esli\; n=2m+1}} \right. \\\\x_2=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi k}{5},\; \to \; x_2= \left [ {{\frac{\pi}{10}+\pi m,\; esli\; k=5m} \atop {\frac{3\pi }{10}+\pi m,\; esli\; k=5m+1}} \right. ,x_2= \left [ {{\frac{\pi}{2}+\pi m,\; esli\; k=5m+2} \atop {\frac{7\pi }{10}+\pi m,\; esli\; k=5m+3}} \right. \\\\ x_2=\left [ {{\frac{9\pi }{10}+\pi m,\; esli\; k=5m+4} \atop {}} \right. [/latex]
При n=2m+1 и k=5m+2 значения [latex]x_1[/latex] и [latex]x_2[/latex] совпадают.Отсюда, подставим либо n=2m+1 в формулу для [latex]x_1[/latex] ,либо k=5m+2 в формулу для [latex]x_2[/latex] .
[latex]x=\frac{\pi n}{2}=\frac{\pi (2m+1)}{2}=\frac{2\pi m}{2}+\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi m,\; m\in Z[/latex]
Пересечением данных множеств будет [latex]x=\frac{\pi}{2}+\pi m\; ,\; m\in Z.[/latex]
2) Аналогично. Представим множества решений по одной разности π.Тогда n=4m; 4m+1; 4m+2; 4m+3. А для k=2m; 2m+1. Тогда:
[latex]x_1= \left [ {{\pi m,\; n=4m} \atop {\frac{\pi}{4}+\pi m,\; n=4m+1}} \right. ,x_1= \left [ {{\frac{\pi}{2}+\pi m,\; n=4m+2} \atop {\frac{3\pi }{4}+\pi m,\; n=4m+3}} \right. \\\\x_2= \left [ {{\pi m,\; k=2m} \atop {\frac{\pi}{2}+\pi m,\; k=2m+1}} \right. \\\\Peresechenie\; :\; \; x_1=\frac{\pi (4m+2)}{4}=\frac{\pi}{2}+\pi m\; ,\; m\in Z\\\\ili\; \; x_2=\frac{\pi k}{2}=\frac{\pi (2m+1)}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi m,\; m\in Z[/latex]
Получили одинаковые ответы, поэтому из какого множества получать ответ безразлично.
1)
Пересечение множеств: x=П/2+Пк, к-целое
Смотри вложение.
Не нашли ответ?
Похожие вопросы