Картинка в описании

[latex] { ^3\sqrt{ x - 3 } } + { ^3\sqrt{2x} } = { ^3\sqrt{ 3x + 15 } } [/latex] ; «условие» Возведём всё в куб, используя формулу куба суммы (кубического бинома) [latex] (a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 [/latex] ; [latex] ( ^3\sqrt{ x - 3 } )^3 + 3 ( ^3\sqrt{ x - 3 } )^2 ( ^3\sqrt{2x} ) + 3 ( ^3\sqrt{ x - 3 } ) ( ^3\sqrt{2x} )^2 + ( ^3\sqrt{2x} )^3 = ( ^3\sqrt{ 3x + 15 } )^3 [/latex] [latex] x - 3 + 3 ( ^3\sqrt{ x - 3 } ) ( ^3\sqrt{2x} ) ( { ^3\sqrt{ x - 3 } } + { ^3\sqrt{2x} } ) + 2x = 3x + 15 [/latex] ; [latex] 3 (^3\sqrt{ 2x ( x - 3 ) } ) ( { ^3\sqrt{ x - 3 } } + { ^3\sqrt{2x} } ) = 18 [/latex] ; [latex] ^3\sqrt{ 2x ( x - 3 ) } ( ^3\sqrt{ x - 3 } + { ^3\sqrt{2x} } ) = 6 [/latex] ; Заменим вторую скобку через «условие» [latex] ( ^3\sqrt{ 2x ( x - 3 ) } ) ( ^3\sqrt{ 3x + 15 } ) = 6 [/latex] ; [latex] ^3\sqrt{ 2x ( x - 3 ) ( 3x + 15 ) } = 6 [/latex] ; [latex] 2x ( 3x^2 + 6x - 45 ) = 6^3 [/latex] ; [latex] 6x^3 + 12x^2 - 90x = 216 [/latex] ; [latex] 6x^3 + 12x^2 - 90x - 216 = 0 [/latex] ; [latex] x^3 + 2x^2 - 15x - 36 = 0 [/latex] ; «кубур» Из следствия из Теоремы Безу о рациональных корнях, числители которых делят свободное слогаемое 36, имеем : [latex] x \in \{ [/latex] ± [latex]1 ; [/latex] ± [latex]2 ; [/latex] ± [latex]3 ; [/latex] ± [latex]4 ; [/latex] ± [latex]6 ; [/latex] ± [latex]9 ; [/latex] ± [latex]12 ; [/latex] ± [latex]18 ; [/latex] ± [latex]36 \} [/latex] ; Подставим эти потенциальные корни в кубическое уравнение «кубур» x = ± 1 : вычисление четырёхчлена : ± [latex]1 + 2*1 - ([/latex] ± [latex]15*1 ) - 36 [/latex] ≠ [latex] 0 [/latex] ; x = ± 2 : вычисление четырёхчлена : ± [latex]8 + 2*4 - ([/latex] ± [latex]15*2 ) - 36 [/latex] ≠ [latex] 0 [/latex] ; x = ± 3 : вычисление четырёхчлена : ± [latex]27 + 2*9 - ([/latex] ± [latex]15*3 ) - 36 = 0 [/latex] при x = –3 ; [latex] x_1 = -3 [/latex] ; Итак, один корень уравнения «кубур» это –3. Разложим кубический четырёхчлен «кубур» на множители, вынося скобку (x+3): [latex] x^3 + 2x^2 - 15x - 36 = x^2(x+3)-x(x+3)-12(x+3) = 0 [/latex] ; [latex] ( x^2 - x - 12 )(x+3) = 0 [/latex] ; [latex] D = 1 - 4*1*(-12) = 49 = 7^2 [/latex] ; [latex] x_{2,3} = \frac{1}{2}( 1 [/latex] ± [latex] 7) [/latex] ; [latex] x_2 = -3 [/latex] ; [latex] x_3 = 4 [/latex] ; [latex] x_{1,2} = -3 ; x_3 = 4 ; [/latex] ; Сдвоенные корни « –3 » верны при подстановке в «условие» только с вычислением подходящих комлексных алгебраических значений кубических корней, а при обычном арифметическом расчёте являются посторонними. Ответ: x = 4 ;

Воспользуемся формулой суммы в кубе, записав ее в следующем виде:  (a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b) Обозначим : a=(x-3)^1/3  b=(2x)^1/3  c=(3x+15)^1/3 x-3+3abc+2x=3x+15 3abc=18 (x-3)*2x*(3x+15)=6*6*6 (x*x-3x)(x+5)=36 x^3+2x^2-15x-36=0 Очевидно, один корень х=4 Это можно было заметить и в исходном уравнении. Поделим многочлен на (х-4) Получим х^2+6x+9=0 x=-3 Проверкой убеждаемся, что этот корень лишний, он не удовлетворяет исходному уравнению. Ответ: х=4