Х в степени  у + у в степени х =200

[latex]x^y+y^x=200[/latex] ОДЗ: [latex] \left \{ {{x>0} \atop {y>0}} \right. [/latex] [latex]x^y+y^x-200=0[/latex] Пусть [latex]y^x=a,\,\,x^y=b[/latex] b+a-200=0 a=-b+200 [latex] \left \{ {{a>0} \atop {x\lg(y)=\lg(a)}} \right. \\ \left \{ {{b>0} \atop {y\lg(x)=\lg(b)}} \right. [/latex] [latex] \left \{ {{b<200} \atop {x\lg(y)=\lg(-b+200)}} \right. \\ \left \{ {{b>0} \atop {y\lg(x)=\lg(b)}} \right. [/latex] Выразим переменную у [latex]y= \frac{\lg(b)}{\lg(x)} \\ \\ x\lg( \frac{\lg(b)}{\lg(x)} )=\lg(-b+200) \\ x(\lg(|\lg(b)|)-\lg(|\lg(x)|))=\lg(-b+200) \\ x(\lg(\lg(b))-\lg(\lg(x))=\lg(-b+200) \\ x(\lg(\lg(b))-\lg(\lg(x))-\lg(-b+200)=0 \\ x\lg(\lg(b))-x\lg(\lg(x))-\lg(-b+200)=0[/latex] [latex]\left \{ {{00} \right.\to \O[/latex] Теперь если [latex]\left \{ {{\lg(y)=\lg(-b+200)} \atop {x=1}} \right.[/latex] [latex]\lg(y)=\lg(-b+200) \\ y=-b+200[/latex] учитем что [latex]\lg(b)=0\to b=1[/latex] [latex] \left \{ {{b=1} \atop {y=-1+200}}\atop {a=-1+200} \right. \to \left \{ {{b=1} \atop {y=199}}\atop {x=1} \right. [/latex] ИЗ условия видно, что х и у имеют зеркальные решения если х=а и у=с, то и х=с и у=а Ответ: х = 1; у =199. и  x=199; y=1