Кто вторым напишет верное решение, получит еще и "лучший ответ" :)   Дана последовательность натуральных чисел [latex]x_1,\ x_2,\ \dots[/latex], причем [latex]2013^{2012}\leqslant x_1\leqslant2012^{2013}[/latex], x1 не делится ...

По условию посдедняя цифпа числа х1 не 0 и не 5 (иначе делится на 5), а значит цифра y1 равно либо 1,2,3,4,6,7,8 или 9, тогда последняя цифра числа х2 а значит и число y2 равны либо 2, 4, 6, либо 8   Так как ..2+2=...4; ...4+4=..8 ..6+6=...2 ...8+8...=6 то последовательность y2, y3,y4, .... является периодичной с периодом 4.   Поэтому для любого n>1 [latex]a_{n+4}=a_n+(2+4+6+8)=a_n+20[/latex] а для любого t>1 [latex]a_{n+4t}=a_n+(2+4+6+8)t=a_n+20t[/latex]   Любое число [latex]a_n, n>2[/latex] получается имеет вид [latex]a_n=10m+2 [/latex]либо [latex]a_n=10m+4[/latex] либо [latex]a_n=10m+6 [/latex]либо [latex]a_n=10m+8[/latex] где m -некоторое неотрицательное целое число   С двух членов последовательности [latex]a_n=10m+2 [/latex] и  [latex]a_{n+1}=10m+4[/latex] хотя бы одно делится на 4. Запишем его в виде a_n=4l Тогда [latex]a_{n+4t}=4(l+5t)[/latex]   Среди чисел вида l+5t бесконечно много степеней двойки так как остатки от деления на 5 степеней двойки образуют переодическую последовательность 1,2,4,3,1, ...   и значит , бесконечно много степеней двойки дают при делении на 5 такой же остаток, как и число l