Квадрат целого числа имеет вид ...09 (оканчивается цифрами 0 и 9). Докажите, что третья справа цифра – четная.

Квадрат нашего числа можно записать в виде N² = 100k+9, где k - натуральное. Нам нужно доказать, что последняя цифра в числе k - четная, то есть k - четное число. Преобразуем [latex]N^2 = 100k+9\\ 100k = (N-3)(N+3)[/latex] Числа N-3 и N+3 имеют одинаковые остатки при делении на 6. Рассматривая возможные остатки от деления на 6 (0...5) и пользуясь тем, что произведение (N-3)(N+3) будет иметь тот же остаток, что и квадрат остатка сомножителей, мы получим возможные варианты Остаток --- остаток квадрата остатка 0 --- 0 1 --- 1 2 --- 4 3 --- 3 4 --- 4 5 --- 1 Число 100k может давать следующие остатки при делении на 6. k --- Остаток 1 --- 4 2 --- 2 3 --- 0 4 --- 4 5 --- 2 6 --- 0 и так далее Сопоставляя две таблицы, мы понимаем, что k = 1, 4, 7..., то есть k=3m+1, где m - натуральное (100*0+9 = 109 - не квадрат). Нам осталось доказать, что m не может быть четным. Итак [latex]k = 1+3m\\ N^2 = 300m+100+9 = 300m+109 [/latex] Число N^2 может иметь следующие остатки при делении на 8 0, 1, 4, 1, 0, 1, 4, 1 и так далее Число 109 дает 5 в остатке при делении на 8, число 300 - дает 4 Значит остатки от деления 300m+109 на 8 будут такие (m = 1, 2, 3...) 1, 5, 1, 5, 1 и так далее Остаток 5 невозможен (см остатки N^2 при делении на 8), значит отсюда мы понимаем, что m обязано быть нечетным (тогда остаток будет 1). Значит m - нечетно, 3m+1 = k - четно, и третья справа цифра тоже четна.