[latex] A больше a больше \frac{1}{|A|} \ ; [/latex][latex] B больше b больше 1 \ ; [/latex]с р а в н и т ь :[latex] A + \frac{1}{AB} + B \ \ \ \ \ \ ? \ \ \ \ \ \ a + \frac{1}{ab} + b \ \ . [/latex]*** задачу необходим...

Дано: [latex]A \ \textgreater \ a \ \textgreater \ \frac{1}{A} \ \textgreater \ 0\\\\ B\ \textgreater \ b\ \textgreater \ 1 [/latex] Доказать: [latex]A+ \frac{1}{AB}+B\ \textgreater \ a+ \frac{1}{ab} +b [/latex] Доказательство: [latex]1) \ A-a\ \textgreater \ \frac{A-a}{Aab} [/latex], т.к.  [latex] \left \{ {{Aa\ \textgreater \ 1} \atop {b\ \textgreater \ 1}} \right. [/latex] [latex]A-a\ \textgreater \ \frac{1}{ab}- \frac{1}{Ab}\\\\ (*)\ \ \boxed {A+ \frac{1}{Ab} \ \textgreater \ a+ \frac{1}{ab}} [/latex] [latex]A + \frac{1}{Ab} + b \ \textgreater \ a + \frac{1}{ab} + b [/latex] [latex]2) \ B-b\ \textgreater \ \frac{B-b}{\underbrace{ABb}} \Longleftarrow \left\{\begin{matrix} A &\ \textgreater \ &1 \\ B &\ \textgreater \ &1 \\ b &\ \textgreater \ &1 \end{matrix}\right.\\\\ B-b\ \textgreater \ \frac{1}{Ab}- \frac{1}{AB} \\\\ (**) \ \ \boxed {B+ \frac{1}{AB}\ \textgreater \ b+ \frac{1}{Ab} } [/latex] К [latex](**)[/latex]  добавим в обе части А: [latex]A+(B+ \frac{1}{AB})\ \textgreater \ A+(b+ \frac{1}{Ab} )>a+\frac{1}{ab}+b [/latex] [latex]\boxed {A+B+ \frac{1}{AB} \ \textgreater \ a+b+ \frac{1}{ab} }[/latex]

[latex] \ [/latex] [latex] A > 0 \ , [/latex]    причём    [latex] A > \frac{1}{A} \ ; \ \Rightarrow \ \ A^2 > 1 \ ; \ \Rightarrow \ \ A > 1 \ ; [/latex] [latex] \ [/latex] [latex] A > a > \frac{1}{A} > 0 \ ; \ \Rightarrow \ \ Aa > 1 \ ; [/latex] [latex] \ [/latex] [latex] B > 0 \ , [/latex]    причём    [latex] B > b > 1 \ ; \ \Rightarrow \ \ Bb > 1 \ ; [/latex] [latex] \ [/latex] [latex] \ [/latex] Рассмотрим три выражения: [latex] \ [/latex] [latex] Grand: \ \ \ \ \ G = A + \frac{1}{AB} + B \ ; [/latex] [latex] \ [/latex] [latex] Middle: \ \ \ \ \ M = A + \frac{1}{Ab} + b \ [/latex]    и: [latex] \ [/latex] [latex] Small: \ \ \ \ \ S = a + \frac{1}{ab} + b \ ; [/latex] [latex] \ [/latex] [latex] \ [/latex] Рассмотрим разность    [latex] D = G - M \ : [/latex] [latex] \ [/latex] [latex] D = A + \frac{1}{AB} + B - ( A + \frac{1}{Ab} + b ) = \frac{1}{AB} + B - \frac{1}{Ab} - b = \\\\ = B - b + \frac{1}{AB} - \frac{1}{Ab} = B - b + \frac{b-B}{ABb} = ( B - b ) ( 1 - \frac{1}{ABb} ) > 0 \ , [/latex] [latex] \ [/latex] т.к.    [latex] B - b > 0 \ , \ \ A > 1 \ , [/latex]    и    [latex] Bb > 1 \ . [/latex] [latex] \ [/latex] Итак:    [latex] D > 0 \ ; \ \Rightarrow \ G - M > 0 \ ; \ \Rightarrow \ G > M \ ; [/latex]    [ ** 1 ** ] [latex] \ [/latex] [latex] \ [/latex] Рассмотрим разность    [latex] d = M - S \ : [/latex] [latex] \ [/latex] [latex] d = A + \frac{1}{Ab} + b - ( a + \frac{1}{ab} + b ) = A + \frac{1}{Ab} - a - \frac{1}{ab} = \\\\ = A - a + \frac{1}{Ab} - \frac{1}{ab} = A - a + \frac{a-A}{Aab} = ( A - a ) ( 1 - \frac{1}{Aab} ) > 0 \ , [/latex] [latex] \ [/latex] т.к.    [latex] A - a > 0 \ , \ \ Aa > 1 \ [/latex]    и    [latex] b > 1 \ . [/latex] [latex] \ [/latex] Итак:    [latex] d > 0 \ ; \ \Rightarrow \ M - S > 0 \ ; \ \Rightarrow \ M > S \ ; [/latex]    [ ** 2 ** ] [latex] \ [/latex] [latex] \ [/latex] [latex] G - S = G - M + M - S = D + d > 0 \ ; [/latex] [latex] \ [/latex] [latex] G - S > 0 \ ; [/latex] [latex] \ [/latex] [latex] G > S \ ; [/latex] [latex] \ [/latex] Что так же понятно и из сравнения выражений [ ** 1 ** ] и [ ** 2 ** ] : [latex] \ [/latex] [latex] G > M > S \ ; [/latex] [latex] \ [/latex] [latex] A + \frac{1}{AB} + B > a + \frac{1}{ab} + b \ , [/latex] [latex] \ [/latex] что и требовалось выяснить и доказать. [latex] \ [/latex] [latex] \ [/latex]