[latex] \left \{ {{x^2+y^2=4} \atop {y=x^2+a}} \right. [/latex] найти все значение параметра а, при каких система имеет единственное решение

[latex] \left \{ {{ x^{2} + y^{2} =4} \atop {y= x^{2} +a}} \right. , \left \{ {{ x^{2} +y^{2} =2 ^{2} } \atop {y= x^{2} +a}} \right. [/latex] x²+y²=2² - уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом R =2 y=x²+a квадратичная функция, график парабола ветви вверх, смещена на а единиц. чтобы данная система имела только одно решение парабола вершиной должна касаться окружности такая точка (0;2), => a=2  пусть а=-2, тогда y=x²-2. графическое решение системы (см. рис. 2) получаем 3 общих точки параболы и окружности, => при а=-2 система имеет 3 решение, что противоречит условию задачи. ответ: при а=2 система уравнений имеет одно решение

Строгое решение будет таким. Если (х,у)  - какое-нибудь решение системы и при этом x≠0, то (-x,y) - тоже решение. Причем оно не совпадает с первым.  Отсюда, если система имеет единственное решение, то обязательно х=0. т.е. y=a, a^2=4, т.е. а=2 или а=-2. 1) Если а=2, то y=x²+2, x²+(x²+2)²=4, т.е. x²(x²+5)=0, единственное решение x=0, откуда y=2. 2) Если а=-2, то y=x²-2, x²+(x²-2)²=4, т.е. x²(x²-3)=0, видим, что есть три решения при x=0,  x=-√3, x=√3. Итак, ответ: а=2.