[latex] \sqrt[3]{2x+25} - \sqrt{5x-1} =1 [/latex] Решите пожалуйста уравнение подробно

ОДЗ уравнения: [latex]5x-1 \geq 0[/latex] отсюда [latex]x \geq \frac{1}{5} [/latex] Введём замену. Пусть [latex] \sqrt{5x-1} =a\,\,\,\,\,(1);\,\,\,\, \sqrt[3]{2x+25}=b \,\,\,\,\,(2)[/latex], будем иметь такое уравнение: [latex]b-a-1=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, (*)[/latex] Возведем обе части в квадрат уравнения [latex](1):[/latex] [latex]5x-1=a^2[/latex] отсюда выразим [latex]x:\,\,\,x= \dfrac{a^2+1}{5} [/latex] Возведем обе части уравнения [latex](2)[/latex] в куб: [latex]2x+25=b^3[/latex] выразим отсюда [latex]x:\,\,\,x= \dfrac{b^3-25}{2} [/latex] Из уравнения [latex](*)[/latex] выразим [latex]b:\,\,\,\,\,b=a+1[/latex] Подставляем эти переменные, получаем: [latex]2\cdot \dfrac{a^2+1}{5} +25=(a+1)^3|\cdot5\\ 2a^2+2+125=5(a+1)^3\\2a^2+2+125-5a^3-15a^2-15a-5=0\\ 5a^3+13a^2+15a-122=0[/latex] Мы с легкостью можем подобрать корень уравнения, это [latex]a=2.[/latex].Зная корень уравнения, мы можем разложить левую часть уравнения на множители, т.е. добавим и вычтем некоторые слагаемые: [latex]5a^3-10a^2+23a^2-46a+61a-122=0\\ 5a^2(a-2)+23a(a-2)+61(a-2)=0\\ (a-2)(5a^2+23a+61)=0[/latex] Произведение равно нулю, значит каждый множитель также равен нулю, тоесть: [latex]a-2=0[/latex] отсюда корень будет равен [latex]a=2[/latex] [latex]5a^2+23a+61=0[/latex] Вычислим дискриминант квадратного уравнения: [latex]D=b^2-4ac=23^2-4\cdot5\cdot61=-691[/latex] Так как [latex]D\ \textless \ 0,[/latex] то квадратное уравнение действительных корней не имеет. Возвращаемся к замене: [latex]\boxed{x= \frac{a^2+1}{5} = \frac{2^2+1}{5} =1}[/latex] Ответ: [latex]1.[/latex]