[latex] \sqrt{(a+ \alpha)(b+ \beta)} \leq \frac{1}{2} (a+b)+\frac{1}{2}( \alpha + \beta )[/latex]Все переменные больше нуля.Докажите неравенство

Пусть [latex]a + \alpha = x, b + \beta = y[/latex], x>0, y>0 Тогда надо доказать, что: [latex] \sqrt{xy} \leq \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} y[/latex] [latex] 2\sqrt{xy} \leq x + y[/latex] [latex]4xy \leq x^2+2xy+y^2[/latex] [latex]0 \leq x^2-2xy+y^2[/latex] [latex]0 \leq (x-y)^2[/latex] - это верно всегда.