[latex] y=sin^4x+cos^4x[/latex] Найти множество значений функции
[latex] y=sin^4x+cos^4x[/latex]
Найти множество значений функции
Ответ(ы) на вопрос:
y=(1-cos2x)²/4+(1+cos2x)²/4=1/4(1-2cos2x+cos²2x+1+2cos2x+cos²2x)=
=1/4(2+2cos²2x)=1/2+1/2*(1+cos4x)/2=1/2+1/4+1/4*cos4x=3/4+1/4*cos4x
E(y)∈3/4+1/4*[-1;1]=3/4+[-1/4;1/4]=[1/2;1 ]
Формулы преобразования:
sin²a=(1-cos2a)/2⇒sin^4a=(1-cos2a)²/4
cos²a=(1+cos2a)/2⇒sin^4a=(1+cos2a)²/4
[latex]a^2+b^2=(a+b)^2-2ab[/latex]
[latex]sin^4x+cos^4x=(sin^2x)^2+(cos^2x)^2=(sin^2x+cos^2x)^2-2sin^2xcos^2x [/latex][latex]=1- \frac{1}{2} *2*2sin^2xcos^2x=1- \frac{1}{2} sin^2(2x)[/latex]
[latex]y=1- \frac{1}{2} sin^2(2x)[/latex]
[latex]-1 \leq sin(2x) \leq 1[/latex]
[latex]0 \leq sin^2(2x) \leq 1[/latex]
[latex]0 \leq\frac{1}{2} sin^2(2x) \leq \frac{1}{2} [/latex]
[latex]-\frac{1}{2} \leq-\frac{1}{2} sin^2(2x) \leq 0 [/latex]
[latex]\frac{1}{2} \leq1-\frac{1}{2} sin^2(2x) \leq 1 [/latex]
[latex]E(y)=[ \frac{1}{2} ;1][/latex]
Не нашли ответ?
Похожие вопросы