[latex]a^{4}+b^{4} \geq \frac{1}{8} [/latex]Докажите, что если сумма положительных чисел a и b равна 1, то: (верхнее выражение)Я пробовал решить составив систему неравенств

Дано, что [latex]a+b=1[/latex], значит [latex]b=1-a[/latex] Значит надо доказать, что: [latex]a^4+(1-a)^4 \geq \frac{1}{8} [/latex] Исследуем левую часть неравенства как функцию от а: [latex]f(a) = a^4+(1-a)^4[/latex] Считаем производную: [latex]f'(a) = 4a^3-4(1-a)^3[/latex] Если решить уравнение [latex]f'(a)=0[/latex], то будет один корень а = 1/2 - это точка минимума. Находим минимальное значение f(a): [latex]f( \frac{1}{2}) = ( \frac{1}{2} )^4+(1- \frac{1}{2} )^4 = \frac{1}{16} + \frac{1}{16} = \frac{1}{8}[/latex] Минимальное значение функции = 1/8, значит: [latex]f(a) = a^4+(1-a)^4 \geq \frac{1}{8} [/latex]