[latex]arctg(x+\frac{1}{2})+arctg(x-\frac{1}{2})=\frac{ \pi }{4} [/latex]

Сначало выведем форрмулу, для суммы арктангенсов пусть [latex]a[/latex] и [latex]b[/latex] аргументы арктангенсов и [latex]\alpha[/latex] и [latex]\beta [/latex] соотвествующие им углы и их сумма будет [latex]\alpha+\beta=\psi[/latex] Вывод: [latex]a,\ b;\\ \alpha=\arctan(a);\ \ \beta=\arctan(b);\\ \alpha+\beta=\psi=\arctan(\tan(\psi))=\arctan(\tan(\alpha+\beta));\\ \tan(\alpha+\beta)=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}=\frac{\sin\alpha\cdot\cos\beta+\sin\beta\cdot\cos\alpha}{\cos\alpha\cdot\cos\beta-\sin\alpha\cdot\sin\beta}=\frac{\sin\alpha\cdot\cos\beta+\sin\beta\cdot\cos\alpha}{\cos\alpha\cdot\cos\beta-\sin\alpha\cdot\sin\beta}\cdot1=\\ [/latex] [latex]=\frac{\sin\alpha\cdot\cos\beta+\sin\beta\cdot\cos\alpha}{\cos\alpha\cdot\cos\beta-\sin\alpha\cdot\sin\beta}\cdot\frac{\frac{1}{\cos\alpha\cdot\cos\beta}}{\frac{1}{\cos\alpha\cdot\cos\beta}}=\frac{\frac{\sin\alpha\cdot\cos\beta+\sin\beta\cdot\cos\alpha}{\cos\alpha\cdot\cos\beta}}{\frac{\cos\alpha\cdot\cos\beta-\sin\alpha\cdot\sin\beta}{\cos\alpha\cdot\cos\beta}}=\frac{\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}+\frac{\sin\beta}{\cos\beta}}{1-\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\cdot\frac{\sin\beta}{\cos\beta}}=\\ [/latex] [latex]=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\cdot\tan\beta};\\ \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\cdot\tan\beta};\\ \arctan a+\arctan b=\alpha+\beta=\psi=\arctan(\tan(\psi))=\\ =\arctan(\tan(\alpha+\beta))=\arctan\left(\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\cdot\tan\beta}\right)=\\ =\arctan\left(\frac{\tan(\arctan(a))+\tan(\arctan(b))}{1-\tan(\arctan(\alpha))\cdot\tan(\arctan(\beta))}\right)=\arctan\left(\frac{a+b}{1-a\cdot b}\right);\\ [/latex] [latex]\arctan\left(a\right)+\arctan\left(b\right)=\arctan\left(\frac{a+b}{1-a\cdot b}\right);\\ [/latex] у нас: [latex]a=x+\frac12;\\ b=x-\frac12;\\ [/latex] решим наше уравнение [latex]\arctan(x+\frac12)+\arctan(x-\frac12)=\frac\pi4;\\ \arctan\left(\frac{x+\frac12+x-\frac12}{1-(x+\frac12)\cdot(x-\frac12)}\right)=\frac\pi4;\\ \arctan\left(\frac{2x}{1-x^2+\frac14}\right)=\frac\pi4;\\ \arctan\left(\frac{2x}{\frac54-x^2}\right)=\frac\pi4;\\ \tan\left(\arctan\left(\frac{2x}{\frac54-x^2}\right)\right)=\tan\frac\pi4;\\ \frac{2x}{\frac54-x^2}=1;\\ [/latex] [latex]\frac{2x}{\frac54-x^2}-1=0;\\ \frac{2x-\left(\frac54-x^2\right)}{\frac54-x^2}=0;\\ ||||||\frac54-x^2\neq0;==>x\neq\pm\frac{\sqrt{5}}{2}||||||\\ 2x-\frac54+x^2=0;\\ 4x^2+8x-5=0;\\ D=8^2+4\cdot4\cdot5=64+80=144=\left(\pm12\right)^2;\\ x_1=\frac{-8-12}{2\cdot4}=\frac{-20}{8}=-\frac{5}{2};\\ x_2=\frac{-8+12}{2\cdot4}=\frac{4}{8}=\frac12;\\ [/latex] подставим и проверим: [latex]x=-\frac52:\\ \arctan\left(-\frac52+\frac12\right)+\arctan\left(-\frac{5}{2}-\frac12\right)=\arctan\left(-\frac42\right)+\arctan\left(-\frac62\right)=\\ =\arctan\left(-2\right)+\arctan\left(-3\right)=-\arctan2-\arctan3<0\neq\frac\pi4;\\ x=\frac12;\\ \arctan\left(\frac12+\frac12\right)+\arctan\left(\frac12-\frac12\right)=\arctan1+\arctan0=\\ =\frac\pi4+0=\frac\pi4[/latex] Ответ: [latex]x=\frac12[/latex]