[latex]sin(4x)=(1+ \sqrt{2})(sin(2x)+cos(2x)-1)[/latex]Нужна хотя бы верная идея

Для небольшого сокращения объема выкладок обозначим u = sin(2x) и v = cos(2x) Исходное уравнение: 2uv = (1 + sqrt(2))(u + v - 1) О.т.т.: u^2 + v^2 = 1 Сложим эти два уравнения: (u + v)^2 = 1 + (1 + sqrt(2))(u + v - 1) Замена: x = u + v x^2 = 1 + (1 + sqrt(2))(x - 1) x^2 - (1 + sqrt(2))x + sqrt(2) = 0 Корни легко угадать по теореме Виета: x = 1 или x = sqrt(2) x = u + v = sin(2x) + cos(2x) = sqrt(2) sin(2x + pi/4) x = 1: sqrt(2) sin(2x + pi/4) = 1 sin(2x + pi/4) = 1/sqrt(2) 2x + pi/4 = pi/4 + 2pi n    или  2x + pi/4 = 3pi/4 + 2pi m 2x = 2pi n   или    2x = pi/2 + 2pi m x = pi n   или    x = pi/4 + pi m x = sqrt(2): sqrt(2) sin(2x + pi/4) = sqrt(2) sin(2x + pi/4) = 1 2x + pi/4 = pi/2 + 2pi k 2x = pi/4 + 2pi k x = pi/8 + pi k

sin(4x)=2sin(2x)cos(2x)=2sin(2x)cos(2x)=2*(2 tg( x)/(1 + tg^2(x))*(1- tg^2( x)/(1 + tg^2(x)) (1+ корень(2))(sin(2x)+cos(2x)-1)=(1+ корень(2))((2 tg( x)/(1 + tg^2(x))+(1- tg^2( x)/(1 + tg^2(x))-1) = =(1+ корень(2))(2 tg( x)+1- tg^2( x)-1 - tg^2(x))/(1 + tg^2(x)) = (1+ корень(2))(2 tg( x)- 2tg^2( x))/(1 + tg^2(x)) sin(4x)=(1+ корень(2))(sin(2x)+cos(2x)-1) => 2*(2 tg( x)/(1 + tg^2(x))*(1- tg^2( x)/(1 + tg^2(x)) = (1+ корень(2))(2 tg( x)- 2tg^2( x))/(1 + tg^2(x)) 2*(2 tg( x)*(1- tg^2( x)= (1+ корень(2))(2 tg( x)*(1- tg( x))*(1 + tg^2(x)) => (2 tg( x)*(1- tg( x))(1+tg(x))= (1+ корень(2))( tg( x)*(1- tg( x))*(1 + tg^2(x)) => (2 tg( x)*(1- tg( x))(1+tg(x))-(1+ корень(2))( tg( x)*(1- tg( x))*(1 + tg^2(x)) =0 => tg( x) * (1- tg( x)) * (2*(1+tg(x))- (1+ корень(2))(1 + tg^2(x))) =0 tg(x)=0 или tg(x)=1 или 2*(1+tg(x))- (1+ корень(2))(1 + tg^2(x)) =0 1) tg(x)=0 => x=pi*k 2) tg(x)=1 => x=pi/4+pi*k 3) 2*(1+tg(x))- (1+ корень(2))(1 + tg^2(x)) = 0 tg^2(x)-tg(x)*2/(1+ корень(2))+1-2/(1+ корень(2))=0 tg^2(x)-tg(x)*2/(1+ корень(2))+(корень(2)-1)/(1+ корень(2))=0 tg^2(x)-tg(x)*2*(корень(2)-1)+(корень(2)-1)^2=0 (tg(x)-(корень(2)-1))^2=0 tg(x)=корень(2)-1 x=arctg(корень(2)-1)+pi*k=pi/8+pi*k