[latex]y= \sqrt[3]{( 1-x^{2} )^2} [/latex] НАЙТИ ВЫПУКЛОСТЬ,ПЕРЕГИБЫ ФУНКЦИИ(по производной второго порядка)

[latex]y=(1- x^{2} )^{ \frac{2}{3} } \\ y'=\frac{2}{3}(1- x^{2} )^{ \frac{2}{3}-1 } *(-2x)= -\frac{4x}{3} (1- x^{2} )^{ -\frac{1}{3} } [/latex] [latex]y''=-\frac{4}{3} (1- x^{2} )^{ -\frac{1}{3} }+\frac{4x}{9} (1- x^{2} )^{ -\frac{1}{3}-1 }*(-2x)=[/latex][latex]-\frac{4}{3} (1- x^{2} )^{ -\frac{1}{3} }-\frac{8x^{2}}{9} (1- x^{2} )^{ -\frac{4}{3} }=-\frac{4}{3}( \frac{1}{ \sqrt[3]{1- x^{2}} } +\frac{2x^{2}}{ 3\sqrt[3]{(1- x^{2})^{4} } })= [/latex][latex]-\frac{4}{3}* \frac{3(1-x^{2})+2x^{2}}{ 3\sqrt[3]{(1- x^{2})^{4} } }=-\frac{4}{3}* \frac{3-x^{2}}{ 3\sqrt[3]{(1- x^{2})^{4} } } \\ y''=0 \\ 3-x^{2}=0 \\ x_{1}= \sqrt{3} \\ x_{2}=- \sqrt{ 3} } [/latex] ПЕРЕГИБЫ ФУНКЦИИ [latex]x_{1}= \sqrt{3 } \\ x_{2}=- \sqrt{ 3 } [/latex] ⇒ [latex]y_{1} = y_{2} = \sqrt[3]{(1-3){2}} = \sqrt[3]{4} [/latex] ⇒ (√3,∛4), (-√3,∛4) функция выпуклый когда y''<0⇒x∈(-∞, -√3)∨(√3, +∞)

[latex]f`(x)=2/3*(1-x^2) ^{-1/3} *(-2x)=-4x/3*(1-x^2) ^{-1/3} [/latex] [latex]f``(x)=-4/3*(1-x^2) ^{-1/3} -4x/3*(-1/3)*(1-x^2) ^{-4/3} *(-2x)=[/latex][latex]-4/3*(1-x^2) ^{-1/3} -8x^2/9*(1-x^2) ^{-4/3} =[/latex][latex]-4/9*(1-x^2) ^{-4/3} *[3(1-x^2)+2x^2]=-4[(3-x^2)/[9 \sqrt[3]{(1-x^2)^4} ]=[/latex]0 3-x²=0 x²=3 x=-√3 U x=√3              _                        +                        _ ------------------(-√3)------------------(√3)------------------ выпук вверх        вогн вниз               выпук вверх х=-√3   у=∛4 х=√3    у=∛4 (-√3;∛4) ;(√3;∛4)-точки перегиба