Легкое задание, помогите найдите промежутки монотонности функции и экстремумы: а) у=(x-2)²/(x+1) б) у=√х-х

Решение 1.  а) у = (x - 2)²/(x+1) Находим первую производную функции: y ` = - (x - 2)/(x + 1)² + (2x - 4)/(x + 1) или y ` = [(x - 2)*(x + 4)]/(x + 1)² Приравниваем ее к нулю: [(x - 2)*(x + 4)]/(x + 1)² = 0 (x - 2)*(x + 4) = 0 , x ≠ 0 x₁ = - 4 x₂ = 2 Вычисляем значения функции  f(- 4) = -12 f(2) = 0 Ответ: fmin = -12, fmax = 0 Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную: y `` = [2*  (x - 2)²/(x + 1)³ + 2/(x + 1) - (4x - 8)/(x + 1)² или y `` = 18/(x + 1)³ Вычисляем: y `` =(- 4) = - 2/3 < 0 значит эта точка - максимума функции. y`` (2) = 2/3 > 0 значит эта точка - минимума функции. б)  промежутки монотонности функции y ` = [(x - 2)*(x + 4)]/(x + 1)² Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю (x - 2) * (x+4) = 0 Откуда: x₁ = - 4 x₂ = 2 (-∞ ;-4)  f'(x) > 0 функция возрастает  (-4; -1) f'(x) < 0 функция убывает   (-1; 2)  f'(x) < 0  функция убывает (2; +∞)    f'(x) > 0  функция возрастает В окрестности точки x = - 4 производная функции меняет  знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = -4 - точка максимума. В окрестности точки x = 2 производная функции меняет  знак с (-) на (+). Следовательно, точка x = 2 - точка минимума. 2.   а)  у = √х - х Находим первую производную функции: y ` = - 1 + 1/2√x Приравниваем ее к нулю: - 1 + 1/2√x = 0 √x = 2/2 x = 1/4 Вычисляем значения функции  f(1/4) = 1/4 Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную: y `` = - 1 / (4x³/²) Вычисляем: y `` (1/4) = - 2 < 0 значит эта точка - максимума функции. б)  промежутки монотонности функции y ` =- 1 + 1/2√x Находим нули функции. Для этого приравниваем производную к нулю - 1 + 1/2√x = 0 Откуда: x = 1/4 (-∞ ;1/4)  f'(x) > 0 функция возрастает  (1/4; +∞)  f'(x) < 0  функция убывает В окрестности точки x = 1/4 производная функции меняет  знак с (+) на (-). Следовательно, точка x = 1/4 - точка максимума.