Лёша купил 11 бутылок кока-колы, а Федя 14 бутылок пепси. Леша покупал бутылки по цене a рублей, a Федя по b рублей (a,b — натуральные). Когда они встретились, выяснилось, что в сумме они потратили 2013 рублей. Сколько различны...

Ууу, это вы хорошую задачку придумали :) Ну, то есть не вы придумали, но она мне очень нравится.  Уравнение будет такое: [latex]11a+14b=2013[/latex], его надо решить в целых числах. Есть алгоритм решения таких уравнений, называются они линейными диофантовыми уравнениями, потому что изучал их Диофант, полагаю. Так вот, сначала нужно найти НОД коэффициентов, то есть 11 и 14, так как они взаимнопросты, то   [latex]\gcd(11,14) = 1[/latex] Потом на него надо сократить, при чём если не сократится, то решения нет. Но нам тут сокращать не на что. Дальше надо угадать какое-то решение, одно, любое. На самом деле, оно не угадывается, а находится по алгоритму Евклида обратным ходом (есть такая ещё теорема о линейном представлении НОДа). Ну так вот, из неё [latex]1 = 4 \times 14 -5 \times11[/latex], значит одно из решений будет таким: [latex]a = 4\times 2013 = 8052, b = -5 \times 2013 = -10 \ 065.[/latex] Круто, да? Подойдёт, проверьте. Это я просто домножил на 2013 представление единицы. Вы скажете: ну это же не решение, какое-то отрицательное число! Я вам на это скажу, что вы правы. И замечу только, что общее решение в целых числах пишется так:  [latex] \left \{ {{a = a_0 - Bt} \atop {b=b_0+At}} \right. \Leftrightarrow \left \{ {{a = 8052 - 14t} \atop {b=-10065+11t}} \right., t \in \mathbb{Z}[/latex] И теперь последний шаг, нужно найти такие t, что оба эти числа натуральны. [latex]\Leftrightarrow \left \{ {{8052 - 14t \ \textgreater \ 0} \atop {-10065+11t \ \textgreater \ 0}} \right., t \in \mathbb{Z} \\ \Leftrightarrow \left \{ {t \le 575} \atop {t \ \textgreater \ 915}} \right., t \in \mathbb{Z}[/latex] Ну и выходит, что нету таких t, может, я где-то ошибся, но вроде калькулятором пользовался. Такие дела. Предмет, на котором это проходят, называется "теория чисел", а задачки такие на олимпиадах дают, там школьники это всё уже должны знать. Знание - сила.

Уравнение будет такое 11a + 14b = 2013 Отсюда a = (2013 - 14b)/11 = 183 - 14b/11 При этом a и b должны быть натуральными. Значит, b делится на 11, чтобы а получилось натуральным. Варианты: b = 11, a = 183 - 14 = 169 b = 22, a = 183 - 14*2 = 183 - 28 = 155 b = 33, a = 183 - 14*3 = 183 - 42 = 141 b = 44, a = 183 - 14*4 = 183 - 56 = 127 b = 55, a = 183 - 14*5 = 183 - 70 = 113 b = 66, a = 183 - 14*6 = 183 - 84 = 99 b = 77, a = 183 - 14*7 = 183 - 98 = 85 b = 88, a = 183 - 14*8 = 183 - 112 = 71 b = 99, a = 183 - 14*9 = 183 - 126 = 57 b = 110, a = 183 - 14*10 = 183 - 140 = 43 b = 121, a = 183 - 14*11 = 183 - 154 = 29 b = 132, a = 183 - 14*12 = 183 - 168 = 15 b = 143, a = 183 - 14*13 = 183 - 182 = 1 Всё. Ответ: 13 вариантов.