Lim (sin xy/x) x→0 y→2

[latex]\frac{\sin(xy)}{x}=y\frac{\sin(xy)}{xy}\\[/latex] Определяем [latex]\alpha(xy)=xy\Rightarrow\ \alpha\underset{\left(x,y\right)\to\left(0,2\right)}{\longrightarrow}0[/latex] Тут предел простой: функция непрерывна, потому просто подставляем значения [latex](x,y)=(0,2)[/latex] и получаем результат. Преобразуем исходный предел по [latex]\alpha[/latex]: [latex]\underset{(x,y)\to(0,2)}\lim \frac{\sin(xy)}{x}=\underset{(\alpha,y)\to(0,2)}\lim y\frac{\sin(\alpha)}{\alpha}[/latex] А вот тут мне не хватает теоремы, по которой я могу устремить значения [latex]x[/latex] и [latex]\alpha[/latex] по отдельности (типа теоремы Фубини для интегралов), если упустить ПОЧЕМУ можно переделы менять местами, получим: [latex]\underset{(\alpha,y)\to(0,2)}\lim y\frac{\sin(\alpha)}{\alpha}=\underset{\alpha\to0}\lim\Big(\underset{y\to2}\lim \frac{\sin(\alpha)}{\alpha}y\Big)=\underset{\alpha\to0}\lim2 \frac{\sin(\alpha)}{\alpha}=2[/latex] ----------------------------- Есть другой вариант, не требует теорему, только неравенство [latex]|\sin (\alpha)|\leq\alpha[/latex] для любых [latex]\alpha\to0[/latex]. Я докажу что предел функции [latex]f(x,y)=\frac{\sin(xy)}{x}-2[/latex] равен нулю, отсюда получим предел из примера. Доказательство: [latex]\Big|\frac{\sin(xy)}{x}-2\Big|\leq\Big|\frac{xy}{x}-\frac{2x}{x}\Big|=\Big|\frac{xy-2x}{x}\Big|=\Big|\frac{x}{x}(y-2)\Big|[/latex] На проколотой области [latex](-\delta,\delta)\setminus\{0\}[/latex] [latex]x\neq0[/latex], значит, можем спокойно сократить и получим: [latex]\Big|\frac{\sin(xy)}{x}-2\Big|\leq\Big|y-2\Big|[/latex] Понятно, что [latex]|y-2|\underset{(x,y)\to(0,2)}\longrightarrow 0[/latex]. Из теоремы: [latex]\lim\big|f(x)\big|=0\Rightarrow\lim f(x)=0[/latex] получаем: [latex]\Big|\frac{\sin(xy)}{x}-2\Big|\leq|y-2|\underset{(x,y)\to(0,2)}\longrightarrow 0\Rightarrow\ \Big|\frac{\sin(xy)}{x}-2\Big|\underset{(x,y)\to(0,2)}\longrightarrow 0[/latex] Следовательно: [latex]\underset{(x,y)\to(0,2)}\lim \frac{\sin(xy)}{x}-2=0\Rightarrow\underset{(x,y)\to(0,2)}\lim \frac{\sin(xy)}{x}=2[/latex] Теперь, всё точно.