Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка [latex]y' - y * tgx = \frac{1}{cosx}[/latex] При x = 0, y = 0

Домножим всё на    [latex] \cos{x} \ [/latex] [latex] y' \cos{x} - y \sin{x} = 1 \ ; [/latex] Решим соответствующее однородное дифф.уравнение: [latex] y' \cos{x} - y \sin{x} = 0 \ ; [/latex] [latex] \frac{dy}{dx} \cos{x} = y \sin{x} \ ; [/latex] [latex] \frac{dy}{y} = tg{x} dx \ ; [/latex] [latex] \int{ \frac{dy}{y} } = \int{ \frac{ \sin{x} \cdot dx }{ \cos{x} } } \ ; [/latex] [latex] \ln{ | y | } = - \int{ \frac{ d \cos{x} }{ \cos{x} } } \ ; [/latex] [latex] \ln{ | y | } = - \ln{ | \cos{x} | } + C_1 \ ; [/latex] [latex] \ln{ | y | } = \ln{ | \frac{ C }{ \cos{x} } | } \ ; [/latex] [latex] | y | = | \frac{ C }{ \cos{x} } | \ ; [/latex] [latex] y = \frac{ C }{ \cos{x} } \ ; [/latex] Если заменить константу C функцией f(x), то решение примет вид: [latex] y = \frac{ f(x) }{ \cos{x} } \ ; [/latex] [latex] y' = \frac{ f'(x) \cos{x} + f(x) \sin{x} }{ \cos^2{x} } \ ; [/latex] Подставим эти выражения в исходное: [latex] \frac{ f'(x) \cos{x} + f(x) \sin{x} }{ \cos^2{x} } \cdot \cos{x} - \frac{ f(x) }{ \cos{x} } \cdot \sin{x} = 1 \ ; [/latex] [latex] \frac{ f'(x) \cos{x} + f(x) \sin{x} }{ \cos{x} } - \frac{ f(x) }{ \cos{x} } \cdot \sin{x} = 1 \ ; [/latex] [latex] \frac{ f'(x) \cos{x} + f(x) \sin{x} - f(x) \sin{x} }{ \cos{x} } = 1 \ ; [/latex] [latex] \frac{ f'(x) \cos{x} }{ \cos{x} } = 1 \ ; [/latex] [latex] f'(x) = 1 \ ; [/latex] [latex] f(x) = x + C \ ; [/latex] Окончательное общее решение: [latex] y = \frac{ x + C }{ \cos{x} } \ ; [/latex] Наложим на решение начальные словия:   [latex] ( x ; y ) = ( 0 ; 0 ) \ : [/latex] [latex] 0 = \frac{ 0 + C }{ \cos{0} } \ ; [/latex] [latex] 0 = 0 + C \ ; [/latex] [latex] C = 0 \ ; [/latex] Частное решение: [latex] y = \frac{x}{ \cos{x} } \ ; [/latex] О т в е т :    [latex] y = \frac{x}{ \cos{x} } \ . [/latex]