Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка Найти общее решение: [latex]x^{2} * y' = 2xy - 3[/latex]

[latex] y'x^2 = 2xy - 3 \ ; [/latex] Решим соответствующее однородное уравнение: [latex] x^2 \frac{dy}{dx} = 2xy \ ; [/latex] [latex] \frac{dy}{y} = 2 \frac{dx}{x} \ ; [/latex] [latex] \int{ \frac{dy}{y} } = 2 \int{ \frac{dx}{x} } \ ; [/latex] [latex] \ln{|y|} = 2 \ln{|x|} + C_1 \ ; [/latex] [latex] \ln{|y|} = \ln{ ( C|x|^2 ) } \ ; [/latex] [latex] |y| = Cx^2 \ ; [/latex] [latex] y = Cx^2 \ ; [/latex] Введём вместо константы C функцию f(x): [latex] y = x^2 f(x) \ ; [/latex] [latex] y' = 2x f(x) + x^2 f'(x) \ ; [/latex] Подставим эти выражения в исходное неоднородное дифф.уравнение: [latex] x^2 ( 2x f(x) + x^2 f'(x) ) = 2x \cdot x^2 f(x) - 3 \ ; [/latex] [latex] 2x^3 f(x) + x^4 f'(x) = 2x^3 f(x) - 3 \ ; [/latex] [latex] x^4 f'(x) = - 3 \ ; [/latex] [latex] f'(x) = - \frac{3}{x^4} \ ; [/latex] [latex] f(x) = \int{ f'(x) } \, dx = - \int{ \frac{3}{x^4} } \, dx = - \int{ 3x^{-4} } \, dx = x^{-3} + C = \frac{1}{x^3} + C \ ; [/latex] Тогда общим решением исходного неоднородного дифференциального уравнения будет: [latex] y = x^2 f(x) = x^2 ( \frac{1}{x^3} + C ) = \frac{1}{x} + Cx^2 \ ; [/latex] О т в е т :    [latex] y = \frac{1}{x} + Cx^2 \ . [/latex]