Ответ(ы) на вопрос:
ГостьОДЗ: [latex]x\ \textgreater \ 0 \\ . \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow \ \boxed{0\ \textless \ x\ \textless \ 1, \ x\ \textgreater \ 1} \\ x \neq 1[/latex]
[latex]2\log_2x -4\log_x2 \ \textless \ 2 \\ \\ \log_2x-2\log_x2 \ \textless \ 1 \\ \\ \log_2x - \frac{2}{\log_2x}\ \textless \ 1 \\ \\ t= \log_2 x \\ \\ t - \frac{2}{t}-1\ \textless \ 0 \\ \\ t^2 -t-2\ \textless \ 0; \ \ \ \ t^2 -t -2=0; \ \ t_{1,2}=\frac{1 \pm \sqrt{1 +8}}{2}=\frac{1 \pm 3}{2} \\ \\ t_1=2; \ \ t_2=-1 \\ \\ \log_2x = 2 \ \Rightarrow \ x=2^2=4 \\ \\ \log_2x=-1 \ \Rightarrow \ x = 2^{-1} = \frac{1}{2}[/latex]
+ — + — +
---o-------o------------o------------o----------->x
0 1/2 1 4
[latex]0 \ \textless \ x\ \textless \ \frac{1}{2}, \ 1
ГостьИсходное неравенство запишем в виде (используя преобразование логарифма по другому основанию, в данном случае "е"):
[latex]2log _{2} x-log _{x} 16\ \textless \ 2[/latex].
[latex] \frac{2lnx}{ln2} - \frac{4ln2}{lnx} \ \textless \ 2[/latex].
Приведя к общему знаменателю, получим:
[latex]2ln^2x-4ln^22\ \textless \ 2ln2*lnx[/latex].
Заменим ln x = y и вычислив натуральные логарифмы, получаем неравенство:
2у² - 1,38629y - 1,92181 < 0.
Эта функция - парабола. Для нахождения области значений её меньше 0, приравняем функцию нулю:
2у² - 1,38629y - 1,92181 = 0.
Найдем дискриминант квадратного уравнения: D = b2 - 4ac = (-1.38629)2 - 4·2·(-1.92181) = 1.9217999641 + 15.37448 = 17.2962799641
Так как дискриминант больше нуля то, квадратное уравнение имеет два действительных корня:
у₁ = 1.38629 - √17.29627996412·2 = 0.3465725 - 0.0000075√19218088849 ≈
= -0.6931474131286512,
у₂ = 1.38629 + √17.29627996412·2 = 0.3465725 + 0.0000075√19218088849 ≈
= 1.3862924131286511.
Находим искомое неизвестное [latex]x=e^y[/latex]:
x₁ = e^( -0.6931474131286512) = 0,5;
x₂ = e^(1.3862924131286511) = 4.
Так как основание логарифма не может быть равно 1, то ответ:
0 < x < 0,5
1 < x < 4.
Не нашли ответ?
Похожие вопросы