M є [latex]D x_{1} =[/latex]  { (x;y): [latex]x^{2} + y^{2} - 4x - 4y + 7 \leq 0[/latex] }N [latex]D x_{2} =[/latex]  { (x;y): [latex]x^{2} + y^{2} + 6x + 6y + 17 \leq 0[/latex] }Найти самое большое расстояние MN

Сразу очевидно что оба два уравнение это есть Окружности  Приведем оба уравнение в канонический вид  [latex]1) x^2+y^2-4x-4y+7 \leq 0\\ x^2-4x+4+y^2-4y+4-1 \leq 0 \\ (x-2)^2+(y-2)^2 \leq 1\\ [/latex]   Это уравнение окружности с центром  точками координат равными  [latex]O(2;2)[/latex]  с радиусом 1 [latex]2)\\ x^2+y^2+6x+6y+17 \leq 0\\ x^2+6x+9+y^2+6y+9-1 \leq 0\\ (x+3)^2+(y+3)^2 \leq 1\\ [/latex]  С центром равными  [latex]O_{1}(-3;-3)\\ R=1[/latex]  По рисунку видно что так!  Теперь можно поступить так , найти уравнение прямой , затем решить две  системы  уравнения, нестрогость можно опустить !  Для N, уравнение прямой будет y=x;  Решим систему, учитывая то что  прямая будет пересекать   эту окружность  в  двух точках выберем ту которая больше 2   [latex] \left \{ {{x^2+y^2-4x-4y+7 =0} \atop {x=y}} \right.\\ \\ x=y=\frac{\sqrt{2}+4}{2}\\ [/latex] то есть координаты M уже известны, теперь  N  так же  [latex] \left \{ {{x^2+y^2+6x+6y+17=0} \atop {x=y}} \right. \\ y=x= - \frac{\sqrt{2}+6}{2}\\ [/latex] Теперь найдем длину MN, по формуле [latex]MN=\sqrt{(x_{2}-x_{1})^2+(y_{2}-y_{1})^2}\\ MN=\sqrt{2(5-\sqrt{2})^2}=\sqrt{2}(5-\sqrt{2})=5\sqrt{2}-2[/latex]