Методом математической индукции докажите 1) формулу общего члена арифметической прогрессии a_n=a_1+d*(n-1) 2) [latex]\displaystyle S_n=\frac{(2a_1+d(n-1))n}{2}[/latex]формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии; 3) ...

1) База индукции: 1 [latex]a_1=a_1+d*0=a_1[/latex] проверено. Предположим, что утверждение верно для n=k. [latex]a_{k}=a_1+d(k-1)=a_1+dk-d[/latex] Покажем, и докажем, что утверждение верно так же для n=k+1. [latex]a_{k+1}=a_1+d[(k+1)-1]=a_1+dk[/latex] Так как , следуя предположению [latex]a_{k}=a_1+d(k-1)=a_1+dk-d[/latex] то прибавив к данному выражению d. Мы получим  следующий член [latex]a_{k+1}=a_1+d[(k+1)-1]=a_1+dk[/latex]. Т.е. предположение верно. Ч.Т.Д. 2) [latex]S_n= \frac{n[2a_1+d(n-1)]}{2} [/latex] База : 1 Проверка: [latex]S_1= \frac{2a_1}{2}=a_1[/latex].  Предположение: [latex]n=k \Rightarrow S_k= \frac{k[2a_1+d(k-1)]}{2}= \frac{2a_1k+dk^2-dk}{2} [/latex] Теперь покажем и докажем, что данное выражение верно и при [latex]n=k+1[/latex]: Так как предыдущий член был равен k, то что бы узнать сумму первых k+1 членов, достаточно прибавить  k+1 член (используя формулу которую мы доказали ранее): [latex] S_{k+1}= \frac{2a_1k+dk^2-dk}{2}+(a_1+dk)= \frac{2(a_1+dk)+2a_1k+dk^2-dk}{2}\\= \frac{2a_1+2dk+2a_1k+dk^2-dk}{2}= \frac{2a_1k+2a_1+dk^2+dk}{2}\\ = \frac{2a_1(k+1)+dk(k+1)}{2}= \frac{(k+1)(2a_1+dk)}{2} [/latex] т.е. мы пришли к изначальной формуле, если туда подставить k+1. Ч.Т.Д. 3) Это не формула общего члена, это формула суммы. При  [latex]q=1[/latex] получается деление на ноль, поэтому сразу пишем [latex]q \neq 1[/latex] База: 1 [latex]b_1= \frac{b_1(1-q)}{(1-q)}=b_1 [/latex] Предположим, что формула верна для: [latex]n=k[/latex] Покажем и докажем что формула верна для [latex]n=k+1[/latex]: Как и с суммой арифм.прогрессии. Мы добавим k+1 член к сумме. [latex]b_{k+1}= \frac{b_1(1-q^k)}{1-q}+b_1q^k= \frac{(1-q)b_1q^k+b_1(1-q^k)}{1-q}\\= \frac{b_1[(1-q)q^k+(1-q^k)]}{1-q}= \frac{b_1[q^k-q^{k+1}+1-q^k]}{1-q}= \frac{b_1(1-q^{k+1})}{1-q} [/latex] Ч.Т.Д.