Можно ли перенумеровать рёбра куба числами от 1 до 12 каждое ребро своим числом так, чтобы сумма номеров любых трёх рёбер, сходящихся в одной вершине, делилось на 3?

Да, можно. Среди чисел от 1 до 12 есть 4 числа, которые делятся на 3 с остатком 0, 4 - с остатком 1, 4 - с остатком 2. Для удобства будем считать, что куб расположен в координатном пространстве, все ребра параллельны одной из трех координатных осей. Тогда достаточно расположить числа, делящиеся на 3 с остатком 0 на ребрах, параллельных оси X, с остатком 1 - параллельно Y, с остатком 2 - параллельно Z. В каждой вершине сходятся три ребра, параллельные разным осям. Тогда остаток от деления на 3 суммы чисел для каждой вершины будет равен 0 + 1 + 2 = 3 -> 0, т.е. будет делиться на 3.