На доске были написаны числа 1 2 3 4 5 6 7 8 9. к некоторым из них вика прибавила 2 а к остальным прибавила 3 . какое самое маленькое число разных результатов она могла получить?

Я думаю, самое маленькое число 1 + 2 = 3. Или вы имеете ввиду сумму всех чисел?

Если два числа отличаются на 2 или более, то после прибавлений они не могут быть равны. Среди чисел есть 5 чисел, никакие 2 из которых не будут равны:1, 3, 5, 7, 9, - поэтому разных результатов не меньше 5.  Ровно 5 их будет, например, если прибавить 2 к нечётным и 3 к чётным, среди результатов: 4, 4, 6, 6, 8, 8, 10, 10, 12 - только 5 различных