На доске были написаны целые числа от -100 до 100. Разрешается производить следующую операцию: стереть какие-то два числа на доске, а на их место записать их сумму, уменьшенную на 1. Какое число останется на доске после 200 так...

То есть по сути пусть есть каике то определенные числа [latex]x;y[/latex] из набора множеств от -100 до 100 , то нужно найти [latex]x+y-1[/latex]. Очевидно что если мы будет брать крайние числа , по закону перемещения ничего не изменится , можно даже решить ослабленную версию такой задачи где требуется найти сумму [latex]x+y-1[/latex] из множество чисел от 1 до 25 и.т.д .  Сумма крайних [latex]-100+100-1=-1\\ -99+99-1=-1\\ -98+98-1=-1\\ [/latex] уже 100 операций проделано , теперь осталось 100   [latex]-1;-1;-1....(100 \ raz) [/latex]  С учетом 50 пар получаем еще такой ряд  [latex]-1-1-1=-3\\ -1-1-1=-3\\ -1-1-1=-3...[/latex]  50 раз , следовательно 50 операций  в итоге остановиться -200  так как  -101*50+101*50-200=-200