На доске записано число 123456789. Разрешается брать любые две цифры одинаковой чётности и заменять каждую из них на среднее арифметическое. Можно ли такими операциями когда-нибудь получить на доске число, большее 800000000?

Да, можно. Один из способов: Замена первой цифры и каждой последующей. Т.е. сначала берётся 1 и 3 цифра, потом 1 и 4, потом 1 и 5, ..., в конце 1 и последняя. Таким образом, мы увеличивали первую цифру на 1 после каждой операции. На фото все эти операции.