На доску выписаны числа a1, a2, …, a1001. Известно, что a1=4, a2=10. Найдите a1001, если для любого натурального n справедливо равенство an+2=an+1–an.

Неужели не написать задание по-человечески? Из вашей записи, вообще-то, следует, что все члены равны -1: [latex]a_n+2=a_n+1-a_n[/latex] Вычислим первые несколько членов. [latex]a_{n+2}=a_{n+1}-a_n\\ a_3=a_2-a_1=6\\ a_4=a_3-a_2=-4\\ a_5=-4-6=-10\\ a_6=-10-(-4)=-6\\ a_7=-6-(-10)=4\\ a_8=4-(-6)=10[/latex] Т.к. седьмой и восьмой члены совпали с первым и вторым, то девятый совпадет с третьим, десятый с четвертым и т.д. (т.к. последующий член зависит только от двух последних). Тогда последовательность периодична с периодом 6. Отсюда требуемый член равен [latex]a_{1001}=a_{166\cdot6+5}=a_5=-10[/latex]