На доску выписывают числа, первое из которых равно 2015, а каждое следующее ровно в 13 раз больше суммы цифр предыдущего. Какое число будет выписано 1000-м по счёту?

На первом месте 2015, сумма цифр 8 На втором месте 8*13 = 104, сумма цифр 5 На третьем месте 5*13 = 65, сумма цифр 11 На четвёртом месте 11*13 = 143, сумма цифр 8 Дальше числа 104, 65 и 143 будут повторяться по кругу. 104 будет стоять на втором, пятом, восьмом и так далее местах. Это можно описать формулой [latex]2+3\cdot(n-1)=2+3n-3=3n-1[/latex], где n - количество "кругов" (циклов). Проверим, может ли 104 стоять на 1000 месте: [latex]3n-1=1000\\3n=1001[/latex] 1001 не делится на 3 без остатка, значит 104 не может быть 1000-м по счёту. 65 будет стоять на третьем, шестом, девятом и так далее местах. [latex]3+3(n-1)=3+3n-3=3n[/latex]. Уравнение 3n=1000 так же не имеет целых корней, значит 65 не будет 1000-м по счёту. 143 будет стоять на четвёртом, седьмом, десятом и так далее местах. [latex]4+3(n-1)=4+3n-3=3n+1[/latex] [latex]3n+1=1000\\3n=999\\n=333[/latex] Получили целое число "кругов" (циклов). 1000-м по счёту будет стоять число 143.