На резиновом шнуре длиной 20 см подвесили груз массой 200 г. При этом шнур удлинился на 4 см. На сколько удлинится этот же резиновый шнур, если к нему подвесить тот же самый груз, но предварительно шнур сложить вдвое? Чему раве...

Для начала отвлечёмся немного от конкретного вопроса и поставим такой мысленный эксперимент: Допустим, мы сидим на высоком упругом куске поролона, теперь подложим ещё один точно такой же кусок поролона, что изменится? Понятно, что такое сиденье станет мягче, т.е. его жёсткость – снизится. Вообще, верно такое положение: чем больше протяжённость одного и того же материала вдоль оси сжатия (растяжения) – тем меньше коэффициент жёсткости (упругости) такой пружинящей системы. Проще говоря, рассматривая пружинки и резинки, можно сказать, что если из одного и того же материала изготовить одинаковые пружинки разной длины, то коэффициент жёсткости (упругости) будет больше у короткой и меньше у длинной пружинки, и отличаться коэффициенты жёсткости будут во столько же раз, во сколько отличаются их длины. Теперь поговори о нашем резиновом 20-сантиметровом шнуре. Сила, действующая в первом опыте на нижний конец шнура – это вес подвешенного груза, который в состоянии покоя равен силе тяжести, действующей на груз. Т.е. эта сила [latex] T_o = mg \approx 0.2 \cdot 9.8 H = 1.96 H [/latex]. Коэффициент упругости такого резинового шнура можно легко найти, исходя из закона упругости Гука: [latex] | F_{ynp} | = k_{ynp} \cdot \Delta x , [/latex] т.е. как: [latex] k_{ynp} = \frac{ | F_{ynp} | }{ \Delta x } , [/latex] или конкретно в нашем случае: [latex] k_o = \frac{ T_o }{ \Delta x } = \frac{mg}{ \Delta x } \approx \frac{ 0.2 \cdot 9.8 }{ 0.04 } = 49 [/latex] Н/м . Итак, жёсткость всего шнура [latex] k_o \approx 49 [/latex] Н/м . Это воздействие в полной мере передаётся и точке закрепления шнура, и соответственно на верхнюю точку самого шнура действует сила [latex] T_u = T_o \approx 1.96 H . [/latex] Причём в любой точке шнура между его собственными частями действует такая же сила [latex] T = T_u = T_o \approx 1.96 H . [/latex] А значит и в середине шнура действует точно такая же сила [latex] T = T_u = T_o \approx 1.96 H . [/latex] Середина шнура, находившаяся в нерастянутом состоянии на расстоянии 10 см от его концов, при равномерном растяжении всего шнура не перестаёт быть серединой, а значит, поскольку весь шнур становится 24 см длину, то середина оказывается в 12 см от концов шнура, т.е. перемещается вниз на 2 см, считая от верхней точки закрепления шнура. Отсюда можно вычислить коэффициент жёсткости именно верхней половины резинового шнура, которая при действии на неё силы Гука в [latex] 1.96 H [/latex] удлиняется при растяжении на 2 см. И у нас получится: [latex] k = \frac{ T }{ \frac{1}{2} \Delta x } = 2 \frac{mg}{ \Delta x } = 2 k_o \approx 98 [/latex] Н/м . Откуда видно, что у половины шнура коэффициент упругости вдвое больше, чем у целого. Если бы мы подвесили груз просто к середине шнура, как показано в предпоследнем варианте, то шнур работал бы с коэффициентом упругости [latex] k = 2 k_o \approx 98 [/latex] Н/м . А половина шнура, так же как и раньше, растягивалась бы на половину величины [latex] \Delta x = 4 [/latex] см, заданной в условии, т.е. на [latex] \frac{1}{2} \Delta x = 2 [/latex] см. А если же шнур не просто использовать на половину, а сложить и использовать обе его половины параллельно, как показано в последнем варианте, то каждая его часть при растягивании на [latex] \frac{1}{2} \Delta x = 2 [/latex] см, действовала бы на груз с силой [latex] T = 1.96 H [/latex], т.е. суммарная сила, действующая на груз вверх была бы вдвое больше необходимой для уравновешивания его массы, а значит, весь сложенный шнур немного поднимется, так что растяжение каждой его половинки сократится ещё вдвое, и общая сила натяжения станет равна силе тяжести груза. Конечное растяжение сложенного шнура составит [latex] \frac{1}{4} \Delta x = 1 [/latex] см. А его коэффициент упругости сложится из упругости одной и другой половинки сложенного шнура. А поскольку коэффициент упругости каждой половинки составляет [latex] k = 2 k_o \approx 98 [/latex] Н/м, то коэффициент упругости всей такой системы будет [latex] k' = 2k = 4 k_o \approx 196 [/latex] Н/м . О т в е т : [latex] k_o \approx 49 [/latex] Н/м – коэффициент упругости исходного резинового шнура; [latex] k' = 4k_o \approx 196 [/latex] Н/м – коэффициент упругости сложенного вдвое шнура; [latex] \Delta x' = \frac{1}{4} \Delta x \approx 1 [/latex] см *** важно понимать, что под [latex] \Delta x' \approx 1 [/latex] см, здесь подразумевается длина, на которую удлиняется именно сложенный резиновый шнур, т.е. от [latex] 10 [/latex] см до [latex] 11 [/latex] ; если же гибким измерительным инструментом измерить полную длину сложенного резинного шнура, то она окажется равной [latex] 22 [/latex] см, против исходных [latex] 20 [/latex] см.