На шахматную доску 8х8 случайно, сначала ставится король. После короля на доску ставится конь(тоже случайно). Какова вероятность того, что король окажется под боем?

Непростая задача. Количество клеток, с которых конь может бить короля, зависит от положения короля. 1) Если король стоит в углу, a1, то его можно побить с 2 клеток: b3 и c2. Углов всего 4: a1, a8, h1, h8. Вероятность, что король попадет в угол 4/64 = 1/16. Вероятность, что конь попадет на одну из нужных клеток 2/63. Знаменатель 63, а не 64, потому что осталось 63 свободных клетки. Общая вероятность равна P1 = 1/16*2/63 = 1/(8*63) 2) Если король стоит на a2, то его можно побить с 3 клеток: b4, c1, c3. Таких клеток 8: a2, a7, b1, b8, g1, g8, h2, h7. Вероятность, что король попадет на такую клетку 8/64 = 1/8. Вероятность, что конь попадет на одну из нужных клеток 3/63. Общая вероятность равна P2 = 1/8*3/63 = 3/(8*63) 3) Если король стоит на a3, то его можно побить с 4 клеток: b1, b5, c2, c4. Таких полей 16: a3 - a6, c1 - f1, c8 - f8, h3 - h6. Вероятность, что король попадет на такое поле 16/64 = 1/4. Вероятность, что конь попадет на нужное поле 4/63. Общая вероятность равна P3 = 1/4*4/63 = 1/63 = 8/(8*63) 4) Если король стоит на b2, то его можно побить с 4 клеток: a4, c4, d3, d1. Таких клеток всего 4: b2, b7, g2, g7. Вероятность королю попасть на такую клетку 4/64 = 1/16. Вероятность, что конь окажется на нужной клетке 4/63. Общая вероятность равна P4 = 1/16*4/63 = 1/(4*63) = 2/(8*63) 5) Если король стоит на с2, то его можно побить с 6 клеток: a1, a3, b4, d4, e1, e3. Таких клеток 16: b3 - b6, c2 - f2, c7 - f7, g3 - g6. Вероятность, что король попадет на такое поле 16/64 = 1/4. Вероятность, что конь окажется на нужной клетке 6/63. Общая вероятность равна P5 = 1/4*6/63 = 6/(4*63) = 12/(8*63) 6) Если король стоит в середине доски, например, на d5. Тогда его можно побить с 8 клеток: b4, b6, c3, c7, e3, e7, f4, f6. Таких клеток всего 16: c3 - c6, d3 - d6, e3 - e6, f3 - f6. Вероятность, что король попадет на такое поле 16/64 = 1/4. Вероятность, что конь окажется на нужной клетке 8/63. Общая вероятность равна P6 = 1/4*8/63 = 2/63 = 16/(8*63) Итоговая вероятность равна сумме всех этих вероятностей. P = P1 + P2 + P3 + P4 + P5 + P6 = = 1/(8*63) + 3/(8*63) + 8/(8*63) + 2/(8*63) + 12/(8*63) + 16/(8*63) = = (1 + 3 + 8 + 2 + 12 + 16) / (8*63) = 42/(8*63) = 21/(4*3*21) = 1/12 Ответ: 1/12