На столе лежит 90 монет.Из них 45 монет лежат орлам вверх,а 45 решкой вверх.Разрешается одновременно переворачивать любые четыре монеты.Можно ли,повторяя эту операцию добиться того,что бы все монеты лежали орлом вверх

Нельзя. Сопоставим монете, лежащей орлом вверх, число +1, а монете, лежащей решкой вверх, число -1. Тогда переворачивание монеты равносильно умножению на (-1) числа, сопоставленного этой монете. Рассмотрим произведение чисел, сопоставленных монетам. В исходном состоянии оно равно (-1)^45 * (+1)^45 = -1, в конечном должно быть (+1)^90 = 1. Но переворачивание четырёх монет приводит к умножению произведения на (-1)^4 = 1, то есть при данной операции произведение измениться не может, и любое количество переворачиваний не могут сделать из минус единицы единицу. Поэтому путём переворачивания четырёх монет добиться того, чтобы все монеты лежали орлом вверх, нельзя.