На сторонах KL и LM треугольника KLM отмечены точки S и T так, что углы LSM и LTK равны, LS=LT, KL=17, LT=11, MS=13. Найдите периметр треугольника MQT, где Q — точка пересечения прямых KT и MS.

Проведём биссектриссу    [latex] LV [/latex]    для    [latex] \angle KLM \ . [/latex] Она пересечёт прямые    [latex] KT [/latex]    и    [latex] MS [/latex]    в точках    [latex] Q_1 [/latex]    и    [latex] Q_2 \ . [/latex] Мы пока не доказали, что все они совпадут с точкой    [latex] Q \ , [/latex] поэтому называемм их точками    [latex] Q_1 [/latex]    и    [latex] Q_2 \ . [/latex] Треугольники    [latex] \Delta SLQ_1 [/latex]    и    [latex] TLQ_2 [/latex] равны по второму признаку равенства треугольников, а значит    [latex] SQ_1 = SQ_2 \ , [/latex]    т.е. точки    [latex] Q_1 [/latex]    и    [latex] Q_2 [/latex]    совпадают, как мы и преполагали, образуя точку    [latex] Q \ , [/latex]    в которой пересекаются    [latex] KT , MS [/latex]    и биссектрисса    [latex] LQ \ . [/latex] Отсюда следует, что    [latex] \angle TQL = \angle SQL \ , [/latex]    а так же    [latex] \angle SQK = \angle TQM \ , [/latex]    как вертикальные, а поэтому    [latex] \angle LQK = \angle LQM [/latex]    и тогда    [latex] \Delta LQM = \Delta LQK [/latex]     – по второму признаку равенства треугольников. Т.е.    [latex] KL = LM \ , [/latex]    а     [latex] \Delta KLM [/latex]    – равнобедренный. [latex] TM = LM - LT = KL - LT = 17 - 11 = 6 \ . [/latex] По даказанныи равенствам треугольников: [latex] QT = QS \ ; [/latex] [latex] MQ + QT = MQ + QS = MS \ ; [/latex] Периметр    [latex] \Delta MQT \: \ \ \ \ \ P = MQ + QT + TM = MS + TM = 13 + 6 \ . [/latex] О т в е т :    [latex] P = 19 \ . [/latex]