На стороне AD треугольника AMD взяты такие точки B и С, что угол AMC = 90, угол BMD = 90, BMC = alfa. Найдите площадь треугольника BMC, если площади треугольников AMC и BMD равны p и q.

Обозначим искомую площадь как S Треугольники AMC и BMC прямоугольные по условию, их площади выражаются формулами: [latex]p=(1/2)*AM*MC[/latex] [latex]q=(1/2)*BM*MD[/latex] Перемножим  p и q: [latex]pq=(1/2)*BM*MC*(1/2)*AM*MD[/latex]  (1) Вспомним формулу площади треугольника (любого): [latex]S_l=(1/2)*a*b*Sina[/latex] Тогда искомая площадь равна: [latex]S=(1/2)*BM*MC*Sina[/latex] Выразим [latex](1/2)*BM*MC=S/Sina[/latex] Из площади треугольника AMD выразим  [latex](1/2)*AM*MD=S_{AMD}/Sin(180-a)= \frac{p+q-S}{Sina} [/latex] Подставим полученные выражения в (1): [latex]pq=\frac{S}{Sina}*\frac{p+q-S}{Sina}[/latex] Отсюда находим S: [latex]S= \frac{p+q\pm \sqrt{p^2-4*Sin^2a*pq+2pq+q^2} }{2} [/latex]