Найдите 2015-й член последовательности 1,2,1,2,3,2,1,2,3,4,3,2,1,2,3,4,5,4,3,2,1,...

Если обозначить [latex]a_n[/latex] - номер места, на котором стоит n-ая единица, то [latex]a_{n+1}=a_n+2n[/latex], где [latex]a_1=1[/latex]. Отсюда нетрудно посчитать по сумме арифметической прогрессии, что [latex]a_n=n^2-n+1[/latex]. Элемент последовательности с номером [latex]a_n+k[/latex] равен [latex]k+1[/latex], при [latex]0\le k\le n[/latex] и равен [latex]2n-k+1[/latex], при [latex]n< k<2n[/latex]. Поэтому, т.к. [latex]a_{45}=1981[/latex] и [latex]a_{46}=2071[/latex], (т.е. 2015-ый элемент находится между 45-ой и 46-ой единицей), а также 2015=1981+34, при этом 34<45, то получаем, что искомый 2015-ый элемент равен 34+1=35.