Найдите числа представляющие собой кубы натуральных чисел и имеющие вид 13р+1, где р простое число

Обозначим искомое число как [latex]n^3[/latex], по условию [latex]n^3=13p+1[/latex]. Перенесём единицу в левую часть и разложим разность кубов на множители: [latex](n-1)(n^2+n+1)=13p[/latex] Понятно, что [latex]n>2[/latex], тогда обе скобки-сомножителя - натуральные числа, большие 1. С другой стороны, произведение [latex]13p[/latex] представляется в виде двух натуральных сомножителей, больших единицы, единственным (с точностью до перестановок) способом: [latex]13p=13\cdot p[/latex]. Поэтому [latex]n-1[/latex], [latex]n^2+n+1[/latex] равны либо [latex]13[/latex] и [latex]p[/latex], либо [latex]p[/latex] и [latex]13[/latex]. Случай 1. [latex]\begin{cases}n-1=13\\n^2+n+1=p\end{cases}[/latex] Из первого уравнения следует, что [latex]n=14[/latex], тогда после подстановки во второе уравнение находим [latex]p=14^2+14+1=211[/latex]. [latex]211[/latex] - действительно простое число, так что [latex]n=14[/latex] нас устраивает. Случай 2. [latex]\begin{cases}n-1=p\\n^2+n+1=13\end{cases}[/latex] Тут всё немного сложнее: уравнение на [latex]n[/latex] квадратное, а не линейное, как в первом случае. Упростив, получаем уравнение [latex]n^2+n-12=0[/latex], у которого только один натуральный корень [latex]n=3[/latex]. Подставляем в первое равенство: [latex]p=3-1=2[/latex] - простое число, так что и тут нас всё устраивает. Ответ. [latex]14^3=2744[/latex], [latex]3^3=27[/latex]