Найдите диагональ прямоугольника наибольшей площади,вписанного в прямоугольный треугольник с катетами 18 см и 24 см и имеющего с ним общий прямой угол.

Введём прямоугольную систему координат ХОУ с началом в вершине прямого угла треугольника. Тогда уравнение гипотенузы будет равно у = (-18/24)х + 18 = (-3/4)х + 18 = -0,75х + 18. Вписанный прямоугольник будет своей вершиной находится на гипотенузе. Его площадь будет выражаться уравнением S = x*y =  =x*(-0,75х + 18) = -0,75х² + 18x. Максимум этой функции найдём с помощью производной, приравненной 0: S' = -1,5x + 18 = 0         x = 18 / 1,5 = 12. Высота прямоугольника у = -0,75*12 + 18 = -9 + 18 = 9. Тогда диагональ равна √(12²+9²) = √(144+81) = √225 = 15.