Найдите длины сторон оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды, если ее высота равна 7 см, длина бокового ребра 9см, а длина диагонали 11см.

Рисуем прав. усеч. 4-хугольную пирамиду ABCD[latex] A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} [/latex]. Из вершины [latex] A_{1} [/latex] опустим перпендикуляр [latex] A_{1} [/latex]E  на диагональ АС (это и есть высота пирамиды, которая 7). В треугольнике [latex]A A_{1}E [/latex] по т. Пифагора найдем [latex]AE= \sqrt{ 9^{2}- 7^{2} }= \sqrt{32}=4 \sqrt{2} [/latex]. Теперь в тр.[latex]C A_{1}E [/latex] так же найдем СЕ=[latex] \sqrt{ 11^{2}- 7^{2} } = \sqrt{72}=6 \sqrt{2} [/latex]. Нашли диагональ большего основания АС=АЕ+ЕС=[latex]10 \sqrt{2} [/latex]. А т.к. АВСД - квадрат (по условию), значит, всё по той же теореме, имеем: [latex] AB^{2}+ BC^{2}= (10 \sqrt{2} )^{2} \\ 2 AB^{2}=200; AB=10 cm. [/latex]. Осталось разобраться с меньшим основанием: [latex] A_{1} C_{1}=AC-2AE [/latex] (можешь опустить вторую высоту [latex] C_{1}F [/latex], тогда  AE=FC). [latex] A_{1} C_{1}=10 \sqrt{2}-2*4 \sqrt{2}=2 \sqrt{2} [/latex]. Ну, и наконец: [latex] (A_{1} B_{1})^{2}+(B_{1} C_{1})^{2}= (2 \sqrt{2})^{2} \\ 2(A_{1} B_{1})^{2}=8 \\ A_{1} B_{1}=2 cm. [/latex] В сухом остатке имеем: длины сторон оснований равны 2 и 10 см. Ура.