Найдите длины сторон равнобедренноготреугольника ABC с основанием AC, еслиизвестно, что длины его высот AN и BMравны соответственно n и m. 

Чертеж - во вложении. Пусть АВ=ВС=х, АС=у (для удобства) По формуле площади треугольника через высоту [latex]S= \frac{1}{2} h*a[/latex] получаем соотношения: [latex]S_{\Delta}= \frac{1}{2}my;\ S_{\Delta}= \frac{1}{2}nx.[/latex] Следовательно, [latex]\frac{1}{2}my= \frac{1}{2}nx\ =\ \textgreater \ y= \frac{n}{m}x [/latex] По формуле площади треугольника через синус угла [latex]S= \frac{1}{2} a*b*sin\ \alpha [/latex] получаем [latex]S_{\Delta}= \frac{1}{2} xy*sin\ C= \frac{1}{2} x* \frac{n}{m}x *sin\ C= \frac{nx^2}{2m} *sin\ C[/latex] Сопоставим площади: [latex]\frac{nx^2}{2m} *sin\ C=\frac{1}{2}nx\ =\ \textgreater \ sin\ C= \frac{m}{x} [/latex] В Δ АВС по теореме косинусов АВ²=ВС²+АС²-2ВС·АС·cos C. х² = х² + у² - 2ху·cos C [latex]cos\ C= \frac{y^2}{2xy} =\frac{y}{2x} = \frac{nx}{m} * \frac{1}{2x}= \frac{n}{2m} [/latex] По основному тригон.тождеству sin²C+cos²C=1. Отсюда [latex]sin^2C=1-cos^2C=1- \frac{n^2}{4m^2} = \frac{4m^2-n^2}{4m^2} [/latex] [latex]\frac{4m^2-n^2}{4m^2} =\frac{m^2}{x^2} \\ x^2=\frac{4m^4} {4m^2-n^2} \\ x= \sqrt{ \frac{4m^4} {4m^2-n^2} }= \frac{2m^2}{ \sqrt{4m^2-n^2} } =BC=AB.[/latex] [latex]AC=y= \frac{n}{m} x= \frac{n}{m} *\frac{2m^2}{ \sqrt{4m^2-n^2} } =\frac{2mn}{ \sqrt{4m^2-n^2} } .[/latex] Все стороны найдены.