Найдите количество совпадающих членов у двух арифметических прогрессий 3;15;27;...;363 и 7; 12; 17;...352.

1) Для первой прогрессии: [latex]a_{n}=a_{1}+d*(n-1)=3+12*(n-1)=3+12n-12=12n-9[/latex] Для второй прогрессии: [latex]t_{k}=t_{1}+d*(k-1)=7+5*(k-1)=7+5k-5=2+5k[/latex] 2) Несколько членов этих прогрессий совпадают: [latex]12n-9=2+5k[/latex] [latex]k= \frac{12n-11}{5}[/latex] k∈N, n∈N 3) Решим уравнение в натуральных числах: Пусть [latex]12n-11=5l[/latex], l∈N, тогда: [latex]12n=5l+11[/latex] - левая часть делится на 12, значит и правая делится на 12, значит: [latex]l=12m+5[/latex], m∈N, то [latex]5l+11=5*(12m+5)+11=60m+36[/latex] - делится на 12, тогда [latex]12n=60m+36[/latex], т.е. [latex]n=5m+3[/latex]. 4) Всего членов в первой прогрессии: [latex]a_{n}=363=12n-9[/latex] [latex]n= \frac{363+9}{12}=31[/latex] Всего членов во второй прогрессии: [latex]2+5k=352[/latex] [latex]k=70[/latex] 5) Тогда: [latex]0\ \textless \ 5m+3 \leq 31[/latex] [latex]-0.6\ \textless \ m \leq 5.6[/latex] m=1, 2, 3, 4, 5 n=8, 13, 18, 23, 28 k=17, 29, 41, 53, 65. Всего одинаковых 5 членов. Проверка: 1) n=8, k=17 [latex]a_{8}=12*8-9=87[/latex] [latex]t_{17}=2+5*17=87[/latex] верно. 2) n=13, k=29 [latex]a_{13}=12*13-9=147[/latex] [latex]t_{29}=2+5*29=147[/latex] верно. И так далее. Ответ: 5