Найдите наибольшее двузначное число , равное неполному квадрату суммы его цифр.  

Пусть искомое двузначное число равно 10а+b, а - ненулевая цифра десятков, b - цифра единиц Тогда по условию должно выполнятся равенство [latex]10a+b=a^2+2ab+b^2[/latex] Подставляя по очерди вместо а числа от 1 до 9, и решая соотвествующие квадратные уравнения относительно b, находим [latex]b^2+(2a-1)b+(a^2-10a)=0[/latex] a=1 [latex]b^2+b-9=0[/latex] целых корней нет a=2 [latex]b^2+3b-16=0[/latex] целых корней нет a=3 [latex]b^2+5b-21=0[/latex] целых корней нет a=4 [latex]b^2+7b-24=0[/latex] целых корней нет a=5 [latex]b^2+9b-25=0[/latex] целых корней нет a=6 [latex]b^2+11b-24=0[/latex] целых корней нет a=7 [latex]b^2+13b-21=0[/latex] целых корней нет a=8 [latex]b^2+15b-16=0[/latex] [latex](b+16)(b-1)=0[/latex] [latex]b_1=-16<0;b_2=1[/latex] [latex]b=1[/latex] число 81 a=9 [latex]b^2+17b-9=0[/latex] целых корней нет ответ: 81