Найдите наибольшее значение функции и значение аргу­мента, при котором функция это значение принимает[latex]\displaystyle f(x)= \frac{10-x}{3+ \sqrt{x-1}} .[/latex]

Без анализа здесь никак (хотя может и есть точнейшие методы решения таких задач). Прежде всего, думаем при каких значениях [latex]x[/latex] функция [latex]y=f(x)[/latex] не существует. То есть найдем такие значения [latex]x[/latex], при которых выражение [latex]f(x) = \frac{10-x}{3+\sqrt{x-1}}[/latex] не имеет смысла. Посмотрели на выражение, подумали и прикинули, что тут может быть где-то два варианта, при которых выражение не имеет смысла: 1) знаменатель обращается в нуль: Чтобы знаменатель обратился в нуль, нужно чтобы [latex]3 + \sqrt{x-1} = 0 [/latex], однако понятно, что [latex]\sqrt{x-1} \geq 0[/latex], значит знаменатель не обратиться в нуль. 2) выражение под корнем в знаменателе будет отрицательным (корень из отрицательного числа не имеет смысла) [latex]x - 1 \ \textless \ 0 \\ x \ \textless \ 1[/latex] Ага, имеем, что при любом значении [latex]x\ \textless \ 1 [/latex] функции не существует. То есть она идет от [latex]1[/latex] и куда-то дальше. Куда — нам пока неизвестно. Теперь посмотрим, что происходит с функцией при возрастании [latex]x[/latex]. Может быть она периодична? [latex]x = 1, y = 3 \\ x = 2, y = 2 \\ x = 5, y = 1[/latex] Пока что видим, что функция убывает. Найдем пересечение с нулем. Для этого просто найдем [latex]x[/latex], при котором числитель обратиться в нуль. [latex]x = 10, y = 0[/latex] Попробуем вместо [latex]x[/latex] повставлять разные значения (большие и маленькие). [latex]x = 26, y = -2 \\ x = 50, y = -4 \\ x = 120, y = -8 \\ x = 850, y \approx -26 \\ x = 10000, y \approx -97[/latex] Видим, что с увеличением [latex]x[/latex] уменьшается [latex]y[/latex]. Делаем вывод, что функция убывает бесконечно много. То есть [latex]y_{max}[/latex] — не существует, [latex]x_{max}[/latex] — не существует.