Найдите наименьшее значение функции y = e^2x - 2e^x + 8 на отрезке [-2; 1] Помогите, пожалуйста!!! Как вообще работать с экспонентой??

Для поиска экстремумов функции [latex]y_{(x)}=e^{2x}-2e^x+8[/latex] надо найти её первую производную по аргументу х, приравнять её нулю и решить относительно х полученное уравнение. [latex]y'=2e^{2x}-2e^x; \ y'=0; \ 2e^{2x}=2e^x; \ e^{2x}=e^x[/latex] Берем натуральный логарифм от обоих частей уравнения: [latex]2x=x \to x=0[/latex] Итак, функция имеет один экстремум в точке х=0. Определим знак первой производной справа и слева от этой точки, подставляя в выражение для производной значения х=-1 и х=1 (можно взять и другие значения, но поскольку экстремум один, конкретные значения не играют роли и лучше брать точки, где проще оценить значение выражения). [latex]y'_{(-1)}=2e^{-2}-2e^{-1}=2*( \frac{1}{e^2}- \frac{1}{e})=2* \frac{1-e}{e^2}<0; \\ y'_{(1)}=2e^2-2e=2e(e-1)>0 \\ ---(-)- 0 -(+) ---[/latex] Мы видим, что слева от точки х=0 производная отрицательна, справа - положительна, следовательно в точке х=0 функция имеет минимум. Вычислим его. [latex]y_{(x=0)}=e^0-2*e^0+8=1-2+8=7[/latex] Функция на отрезке [-2;1] в точке х=0 имеет минимум, равный 7. Примечание. Можно формально придраться к решению, указав что нигде не было использовано левое значение интервала (х=-2), на котором отыскивается минимум. Но, как было замечено выше, функция не имеет точек экстремума при х<0, поэтому было достаточно использовать значение х=-1. Тем не менее, можем подставить в выражение производной значение х=-2 и убедиться, что и в этой точке производная отрицательна: [latex]y'_{(-2)}=2e^{-2*2}-2e^{-2}=2*( \frac{1}{e^4}- \frac{1}{e^2})=2* \frac{1-e^2}{e^4}<0 [/latex]