Найдите наименьшее значение натурального числа n, при котором значение суммы [latex] \frac{1}{1*4}+ \frac{1}{4*7}+...+ \frac{1}{(3n-2)(3n+1)} [/latex] отличается от числа [latex] \frac{1}{3} [/latex] менее чем на 0.001

пусть  искомая сумма   равна S Тогда 3s=3/1*4 +3/4*7......+3/(3n-2)(3n+1) Разложим  каждое слагаемое  в виде   разности  дробей: 3s=(1-1/4)+(1/4-1/7)+(1/7-1/10).......+(1/(3n-2) -1/(3n+1)) все  дроби кроме первого и  последнего  попарно  уничтожаются. Откуда 3s=1-1/(3n+1)=3n/(3n+1) S=n/(3n+1) Тк  нам нужно  найти  наименьшее n ,то  естественно   рассмотрим  случай когда  сумма  меньше  чем 1/3,тк  естественно  в этом случае n будет  наименьшим,ведь  при  возрастании n сумма   возрастает. Тогда  верно  неравенство: 1/3-n/(3n+1)<1/1000 1-3n/3n+1<3/1000 1-  (3n+1-1)/(3n+1)<3/1000 1-(1-  1/3n+1)<3/1000 1/(3n+1)<3/1000 Очевидно что  при  возрастании n левая  часть  убывает,поэтому тк  нас  интересуют только  натуральные n,то  верно  что 3n+1>1000/3 9n+3>1000 9n>997 n>997/9=110 +7/9, А  тк n-число  натуральное то Очевидно  что наименьшее натуральное n=111 Ответ:111

Решение в прикрепленном файле для значения 0,01. Правильное решение выше у Mathgenius Можно использовать формулу для арифметической прогрессии [latex] \frac{1}{a_{1} a_{2} } +\frac{1}{a_{2} a_{3} }+\frac{1}{a_{3} a_{4} }+...+\frac{1}{a_{n} a_{n+1} }=\frac{n}{a_{1} a_{n+1} }[/latex]