Найдите область значение под корнем (2+x-x^2)

Найти:    [latex] E ( \sqrt{ 2 + x - x^2 } ) \ ; [/latex] Воспользуемся известной всем формулой полного квадрата для разности: [1]    [latex] a^2 - 2 a b + b^2 = (a-b)^2 \ ; [/latex] С учётом того, что пользователь просит написать максимально подробно, будем всё делать по действиям: 1)    [latex] 2 + x - x^2 = - ( x^2 - x ) + 2 \ [/latex]    – надеюсь всё понятно. 2)    [latex] 2 + x - x^2 = - ( x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} ) + 2 \ ; [/latex]    – надеюсь всё понятно. 3)    [latex] 2 + x - x^2 = - ( x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + ( \frac{1}{2} )^2 - ( \frac{1}{2} )^2 ) + 2 \ ; [/latex] 4)    [latex] 2 + x - x^2 = - ( x^2 - 2 \cdot x \cdot \frac{1}{2} + ( \frac{1}{2} )^2 ) + \frac{1}{2^2} + 2 \ ; [/latex] Обратим внимание на то, что в скобках теперь полный квадрат из формулы [1]. Тогда его можно свернуть в соответствии с формулой [1]. 5)    [latex] 2 + x - x^2 = - ( x - \frac{1}{2} )^2 + \frac{1}{4} + \frac{8}{4} = \frac{9}{4} - ( x - \frac{1}{2} )^2 \leq \frac{9}{4} \ ; [/latex] Вот и получается, что: [latex] 2 + x - x^2 \leq \frac{9}{4} \ ; [/latex] 7)    [latex] \sqrt{ 2 + x - x^2 } \leq \sqrt{ \frac{9}{4} } = \frac{3}{2} = 1.5 \ ; [/latex] [latex] \sqrt{ 2 + x - x^2 } \leq 1.5 \ ; [/latex] 8) Но известно, что:    [latex] \sqrt{ 2 + x - x^2 } \geq 0 \ ; [/latex] 9) Поэтому:    [latex] 0 \leq \sqrt{ 2 + x - x^2 } \leq 1.5 \ ; [/latex] или:    [latex] \sqrt{ 2 + x - x^2 } \in [ 0 ; 1.5 ] \ ; [/latex] О т в е т :    [latex] E( \sqrt{ 2 + x - x^2 } ) \equiv [ 0 ; 1.5 ] \ . [/latex] **** на всякий случай, добавлю, что: "Область допустимых значений" здесь была бы [latex] D( \sqrt{ 2 + x - x^2 } ) \equiv [ -1 ; 2 ] \ . [/latex] А "область значений под корнем", т.е. область значений самого чистого выражения, находящегося под корнем, здесь была бы    [latex] E( 2 + x - x^2 ) \equiv ( -\infty ; 2.25 ] \ . [/latex] и решения для обоих альтернативных вопросов были бы немного другими.