Найдите $p^3+q^3$, если известно, что $p+q=6$ и $p+q+p^2q+pq^2=53$. При необходимости округлите ответ до сотых.

[latex]p+q+p^2q+pq^2=(p+q)+pq(p+q)=(1+pq)(p+q)=6(1+pq)[/latex] [latex]6(1+pq)=53[/latex] [latex]pq= \frac{53}{6} -1= \frac{47}{6} [/latex] [latex]p^3+q^3=(p+q)(p^2-pq+q^2)=(p+q)((p+q)^2-3pq)=6(36-3pq)[/latex] [latex]6(36-3pq)=6(36- \frac{47}{2} )=3(72-47)=3*25=75[/latex] Ответ: 75

[latex]p+q+p^2q+pq^2=(p+q)+pq(p+q)=(p+q)(1+pq)=53[/latex] [latex]p+q=6[/latex], значит [latex](p+q)(1+pq)=6(1+pq)=53[/latex] [latex]1+pq=\frac{53}{6}\\pq=\frac{53}{6}-1=\frac{53-6}{6}=\frac{47}{6}[/latex] формула суммы кубов: [latex]p^3+q^3=(p+q)(p^2-pq+q^2)[/latex] [latex]p+q=6[/latex], значит [latex](p+q)(p^2-pq+q^2)=6(p^2-pq+q^2)[/latex] представляем в виде полного квадрата вторую скобку: [latex]p^2-pq+q^2=p^2+2pq+q^2-3pq=(p+q)^2-3pq[/latex] [latex]p+q=6[/latex], [latex]pq=\frac{47}{6}[/latex], значит [latex]6(p^2-pq+q^2)=6((p+q)^2-3pq)=6(6^2-3*\frac{47}{6})[/latex] – считаем и решаем [latex]6(6^2-3*\frac{47}{6})=6(36-\frac{47}{2})=6(36-23,5)=6*12,5=75[/latex] Ответ: 75.