Найдите все четырёхзначные числа, которые уменьшаются в 11 раз после отбрасывания первой цифры. В ответе укажите сумму всех таких чисел.

Пусть искомое число ABCD, тогда при делении на BCD получается 11. ABCD=11*BCD ABCD=1000A+100B+10C+D BCD=100B+10C+D 1000A+100B+10C+D=11*(100B+10C+D) 1000A=10*(100B+10C+D) 100A=100B+10C+D A=B + C/10 + D/100 A, B, C, D - это цифры от 0 до 9. С/10 даст целое число, если С=0 D/100 даст целое число, если D=0 Остается, что A=B. Вариантов таких чисел 9: 1100, 2200, 3300, 4400, 5500, 6600, 7700, 8800, 9900. Найдем их сумму:1100+2200+3300+4400+5500+6600+7700+8800+9900=100*(11+22+...+99) =100*S₉=100*495=49500 S₉=(2*11+8*11)*11/2=110*9/2=495 Ответ: сумма искомых чисел равна 49500

Четырехзначное число можно представить как 1000a + 100b + 10c + d, Оно делится на 11, значит a - b + c - d = 11k Четырехзначное число в 11 раз больше трехзначного 100b + 10c + d. 1000a + 100b + 10c + d = 11(100b + 10c + d) 1000a + 100b + 10c + d = 1100b + 110c + 11d 1000a + 100b + 10c + d = 1000b + 100(b+c) + 10(c+d) + d 1000(a-b) + 100(b-b-c) + 10(c-c-d) = 0 1000(a-b) - 100c - 10d = 0 1000(a-b-1) + 100(9-c) + 10(10-d) = 0 1000(a-b) - 1000 + 900 - 100c + 100 - 10d = 0 1000(a-b) = 100c + 10d Получается: 100c + 10d должно делиться на 1000. a - b = 0 100c + 10d = 0 a = b; c = d = 0 Это числа 1100, 2200, 3300, 4400, 5500, 6600, 7700, 8800, 9900 Их сумма равна 49500