Найдите все стороны  четырехугольника,в  который можно  вписать окружность.Если 3 его  угла  острые  и равны  A,B,C.Cторона прилежащая  к углам A и B равна x.

Если вам нужно выразить каждую сторону через [latex]A,B,C,x[/latex] , пришел к такому.    Пусть у нас имеется четырехугольник [latex]abcd[/latex] . Соответственные углы равны [latex]A,B,C[/latex] , следовательно четвертый тупой угол [latex]360-A-B-D[/latex][latex]>90[/latex]  .    По теореме о биссектрисе четырехугольника ,  утверждает что биссектрисы каждого угла пересекаются в центре вписанной окружности. Обозначим его [latex]O[/latex].  Пусть отрезки биссектрис равны из вершины [latex]A,B,C,D[/latex] соответственно    [latex]Q,W,Y,G[/latex].  Радиус вписанной окружности [latex]r[/latex] .   Так как радиус перпендикулярен касательной     ,  по теореме Пифагора выразим   каждый отрезок биссектрисы , используя то что углы будут равны [latex]\frac{A}{2};\frac{B}{2};\frac{C}{2}; \ 180-\frac{A+B+C}{2}[/latex]  [latex]\frac{r}{sin\frac{A}{2}}=Q\\\\ \frac{r}{sin\frac{B}{2}}=W\\\\ \frac{r}{sin\frac{C}{2}}=Y\\\\ \frac{r}{sin\frac{A+B+C}{2}}=G[/latex] Пусть стороны равны [latex]a,b,c,x[/latex]   Так как в четырехугольник можно вписать окружность   [latex]x+a=b+c[/latex]      По свойству, отрезки биссектрис в четырехугольнике   [latex] \frac{Q}{Y}=\frac{bx}{ac}\\\\ \frac{G}{W}=\frac{ab}{cx} [/latex]    Из условия выше получаем   [latex]\frac{sin\frac{B}{2}*sin\frac{A}{2}}{sin\frac{A+B+C}{2}sin\frac{C}{2}}*x=a\\\\ \frac{sin\frac{C}{2}*sin\frac{A+B+C}{2}}{sin\frac{A}{2}*sin\frac{B}{2}}*c=b\\\\ [/latex]  так как  [latex]x+a=b+c\\\\ x+\frac{sin\frac{B}{2}*sin\frac{A}{2}}{sin\frac{A+B+C}{2}sin\frac{C}{2}}*x=\frac{sin\frac{C}{2}*sin\frac{A+B+C}{2}}{sin\frac{A}{2}*sin\frac{B}{2}}*c+c\\\\ c=\frac{x+\frac{sin\frac{B}{2}*sin\frac{A}{2}}{sin\frac{A+B+C}{2}sin\frac{C}{2}}*x}{{sin\frac{A+B+C}{2}}{sin\frac{A}{2}*sin\frac{B}{2}}+1}}[/latex]  его можно упростить , откуда можно выразить и остальные стороны