Найдите все такие пары натуральных чисел m и n, чтобы было выполнено равенство 3^m+112=n^2.

перепишем уравнение  [latex] 3^m - 3^2 = (n-11)(n+11) [/latex]  [latex]9*(3^{m-2}-1) = (n-11)(n+11) \\ m\ \textgreater \ 2 [/latex]        Сделаем замену   [latex] (n-11)(n+11) = x*(9x+22) [/latex]  , потому что  число слева делится нацело на число [latex] 9 [/latex]  [latex] x*(9x+22)= 3^y \\ y=m-2\\ [/latex]                                                            Теперь так как квадратное уравнение   [latex] 9x^2+22x+1 = f(x) \\ 9\ \textgreater \ 0 \\ [/latex]               а показательное функция имеет вид  одной ветви гиперболы , то функция имеет максимально две точки пересечение    Значит наше уравнение имеет максимум два решения , очевидно это         [latex] n=11;29 \\ m=2;6 [/latex]